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Campos eléctricos parte 1 - Monografía



 
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Física. Campo electrostático. Campos vectoriales. Flujo. Circulación. Teorema de Gauss. Conductores. Condensadores. Campos magnéticos



CAMPO ELÉCTRICO



CAMPO ELECTROSTÁTICO



La interacción electrostática de la materia viene dada por la ley experimental del Coulomb. Esta ley es válida para cargas puntuales que se encuentren en reposo. (cargas puntuales son partículas de tamaño menor a la distancia a la que se encuentran; se deben encontrar en reposo porque sino aparecerían campos magnéticos, que todavía no hemos estudiado)

“La fuerza electrostática con la que se atraen o se repelen dos cargas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”

Esta es una fuerza de atracción si son cargas de signo opuesto y de repulsión si son cargas del mismo signo.

Se define por convenio un vector Ur, unitario, radial y hacia fuera. Lo utilizamos para dar el carácter vectorial a la fuerza electrostática:
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Si el producto de las cargas es positivo, supone que serían cargas del mismo signo, por lo que la fuerza sería de repulsión, es decir, hacia fuera, en el sentido del vector unitario Ur
Si el producto de las cargas es negativo, supone que serían cargas de distinto signo, por lo que sería una fuerza de atracción, es decir, hacia dentro, en el sentido opuesto al de Ur

K es la constante  de proporcionalidad que depende del medio en el que se encuentren las cargas, y del sistema de unidades que se esté empleando

Sistemas de unidades:


Hay dos sistemas de unidades principales, el sistema internacional y el sistema cegesimal, o sistema de unidades eléctricas.

El sistema internacional es aquel en el que la unidad de la distancia es el metro y la unidad de la fuerza es el newton. Pero en el momento en el que apareció la ley de Coulomb, la unidad de carga no estaba definida. Este sistema optó por asignar una unidad a la carga, y que las unidades de la constante quedasen en función de ésta.

De esta forma, se asignó como unidad de carga un culombio (1 C), que se define como la carga que situada a una distancia de un metro respecto de otra, ejerce una fuerza sobre esta segunda de 9 * 109 newtons (siempre que las cargas se encuentren en el vacío)

Por el contrario, en el sistema cegesimal (cuyas unidades para la distancia y la fuerza son respectivamente el centímetro y la dina), la solución que se tomó al problema de la falta de unidad para la carga y para la constante K fue asignar a la K un valor de 1, adimensional. De esta forma, la carga tenía una unidad que se llama la unidad electrostática de carga (u. e. e. c.), también llamada franklin o estratoculombio

De la misma forma que el culombio, se define una u. e. e. c. como la carga que situada a una distancia de un centímetro respecto de otra, ejerce una fuerza sobre esta segunda de una dina (siempre que las cargas se encuentren en el vacío)

Para evitar los porblemas que surgen en los casos prácticos al arrastrarse el número racional   se usan las unidades racionalizadas para K, por las que, en el sistema internacional, y en el sistema cegesimal, respectivamente, el valor de K sería:

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Siendo E  la permitividad eléctrica del medio, lo cual supone que la fuerza de interacción varía dependiendo del medio en el que estén situadas las cargas.

En un caso concreto,   sería la permitividad eléctrica en el vacío, que toma un valor de:

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Por definición, esta fuerza no sufre de la influencia temporal, es una fuerza de acción instantánea, que por lo tanto tendría una velocidad de propagación infinita, lo cual supone que se llega a un absurdo.

Como por tanto, con la existencia de esta fuerza no se puede explicar en la realidad los fenómenos de atracción o repulsión electrostática, se introduce un nuevo concepto, el de campo eléctrico, cuya existencia queda demostrado al observar que al situar una carga en un punto cualquiera del espeacio, esa carga altera las propiedades del medio, creando a su alrededor ese campo eléctrico, de tal forma que al introducir una nueva carga en ese espacio, se percibe su existencia, al sufrir la carga introducida la acción de ese campo

CAMPOS VECTORIALES, LÍNEAS DE CAMPO. FLUJO Y CIRCULACIÓN



Se dice que en una zona del espacio existe un campo vectorial si en todos los puntos de dicha región está definida una magnitud vectorial que es función uniforme de las coordenadas de posición y puede que también del tiempo (será, por ser uniforma, contínua, derivable y univaluada, es decir, que en cada punto sólo podrá tomar un valor). Este campo quedaría representado así en función de sus coordenadas:
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Si el campo no depende del tiempo, se dirá que es estacionario.

Ejemplo de campos vectoriales serían el campo eléctrico, el campo gravitatorio, el campo magnético, …

Para representar un campo vectorial utilizaremos las líneas de campo, que son unas líneas tangentes al  vector campo en todos sus puntos y tienen elsentido del campo en cada punto. Como el campo es univaluado (en cada punto tiene un único valor), no pueden cortarse dos líneas de campo, ya que si se cortasen , significaría que en el punto de corte, el campo tendría dos valores diferentes, lo cual sería una contradicción, puesto que el campo no sería univaluado.

En una cierta región infinitesimal del espacio, el número de líneas de campo que se dibujan atravesando la unidad de superficie perpendicular al campo en esa región es proporcional al valor del campo en los puntos de esa región infinitesimal, ya que a mayor intensidad, mayor número de líneas atravesarán la superficie
Las líneas indican por tanto la variación de la intensidad del campo en el espacio

Dado un campo vectorial M, se define el FLUJO elemental de ese campo a través de una superficie (ds) como el producto escalar del campo por la superficie:
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En el caso de que la superficie sea macroscópica:

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En este caso, como ha quedado dicho antes, la intensidad de campo es proporcional al número de las líneas de campo. Por ello, al ser el flujo un producto escalar en el que interviene la intensidad de campo, y ésta es proporcional a las líneas de campo, el flujo va a ser proporcional al número de líneas de campo que atraviesen la superficie total.

El valor del flujo puede oscilar, pudiendo tomar valor:

- POSITIVO.-

En este caso, el número de líneas de campo que salen de la superficie cerrada es mayor que el número de líneas de campo que entran, de tal forma que se dice que en la superficie cerrada existe una fuente de campo

- NEGATIVO.

- En este caso, el número de líneas de campo que entran en la superficie cerrada es mayor que el número de líneas de campo que salen, de tal forma que se dice que en la superficie cerrada existe un sumidero de campo (un punto hacia el cual convergen las líneas de campo)

- NULO.-

En este caso, el número de líneas de campo que salen de la superficie cerrada es igual que el número de líneas de campo que entran.

Dado un campo vectorial M, que está definido en una cierta región del espacio, se denomina CIRCULACIÓN de dicho campo entre dos puntos A y B de dicha región a:
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Ésta es una integral de línea que para la mayoría de los campos depende no sólo de los puntos A y B, sino también del camino que se elija para ir desde A hasta B.

Pero hay ciertos campos en los que el camino escogido para realizar el desplazamiento no influye en el valor de la circulación, ya que éste es constante, independientemente del camino tomado. Éstos son los campos conservativos, donde:
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Como consecuencia, si un campo es conservativo, todas las integrales de líneas cerradas son nulas. Pero una forma más sencilla de averiguar si un campo es o no conservativo consiste en que si un campo es conservativo, sus componenentes cartesianas tienen que satisfacer las CONDICIONES DE SCHWARTZ

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INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR CARGAS PUNTUALES Y POR DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS DE CARGA



Por definición, la fuerza electrostática no sufre de la influencia temporal, es una fuerza de acción instantánea, que por lo tanto tendría una velocidad de propagación infinita, lo cual supone que se llega a un absurdo.

Como por tanto, con la existencia de esta fuerza no se puede explicar en la realidad los fenómenos de atracción o repulsión electrostática, se introduce un nuevo concepto, el de campo eléctrico, cuya existencia queda demostrado al observar que al situar una carga en un punto cualquiera del espeacio, esa carga altera las propiedades del medio, creando a su alrededor ese campo eléctrico, de tal forma que al introducir una nueva carga en ese espacio, se percibe su existencia, al sufrir la carga introducida la acción de ese campo

Midiendo la fuerza de interacción eléctrica que aparece entre las dos partículas podremos evaluar cual es el campo creado por la primera partícula:
Para que la magnitud del campo (eléctrico, en este caso) no dependa de la magnitud activa que se introduzca (en este caso la carga puntual), se define la INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO   como la fuerza creada sobre la unidad de carga positiva

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Donde:    E     es la intensidad de campo eléctrico
F    es la fuerza electrostática entre las dos partículas cargadas
q’    es la carga introducida en el campo
q    es la carga que crea el campo
r    es la distancia desde la carga que crea el campo hasta el punto donde medimos la intensidad del campo eléctrico
Ur    es el vector unitario, cuyo sentido coincide con el que se aleja de la carga

El sentido del campo eléctrico depende de la carga que cree el campo, porque en el caso de que la carga sea positiva, el producto sería positivo, y el vector intensidad de campo tendría el sentido del vector Ur, es decir, alejándose de la carga. Por el contrario, en el caso de que lacarga que crea el campo sea negartiva, el producto sería negativo, y por lo tanto, el sentido del vector intensidad de campo sería opuesto al de Ur, es decir, aproximándose a la carga:

Pero en cualquiera de los casos, al aumentar la distancia (es decir, al alejar la carga), el valor absoluto de la intensidad de campo eléctricodisminuiría (ya que el flujo sería menor)

La fuerza que ejerce una carga q sobre una carga q’, en función del campo eléctrico, viene dado por la expresión:
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En este caso, la intensidad de campo depende sólo de la carga que lo crea, pero la fuerza de interacción depende tanto de la carga que la crea como de la carga que la recibe.

En el caso de que se tengan varias cargas puntuales, el campo creado por todas ellas se calcula aplicando el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN, que supone que el campo total se obtiene como la suma de los campos creados por cada una de las cargas de la distribución, como si cada una de ellas estuviera aislada. Supone que a efectos del campo total, las cargas de una distribución son independientes, y no ejercen interacción mutua entre ellas

Si tuvieramos “n” cargas puntuales:  , el campo total en un punto cualquiera del espacio en el que éstos campos ejercen interacción, sería la suma de los campos que crea cada una de las cargas de la distribución, es decir:

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En el caso de existir un contínuo de carga, existirían un gran número de cargas infinitesimales (dq) cuya suma daría lugar a la carga total (Q). Para hallar el campo total, se hallarían los campos infinitesimales (dE) y se sumarían, es decir:

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En ésta última ecuación, existirían tres variables diferentes, las cuales habría que relacionar entre sí para dejarlas en función de una sola, y así poder continuar con la integral, y resolver el problema.

FLUJO ELÉCTRICO. TEOREMA DE GAUSS Y APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CAMPOS CREADOS POR DISTRIBUCIONES SIMÉTRICAS DE CARGA



Si tenemos un campo vectorial M y una superficie S, se define el flujo de ese campo en la superficie S como:

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En el campo eléctrico, se define el flujo eléctrico de la misma manera:

Donde los diferenciales de superficie que aparecen están representados por el vector perpendicular a la superficie total en cada punto, y que representan un valor infinitesimal de esa superficie


TEOREMA DE GAUSS


Tomemos una carga puntual positiva, cuyas líneas de campo se alejan radialmente de ella

Para calcular el flujo en una superficie genérica S
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Para facilitar los cálculos, vamos a buscar una superficie cuyos puntos se encuentren a la misma distancia de la carga (para lograr que la “r” de la fórmula sea un valor constante); y cuyos diferenciales de superficie (dS) sean radiales (para que sean paralelos al vector unitario Ur). Esa superficie que buscamos será una ESFERA:

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9114.gif TEOREMA DE GAUSS

“El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada en la superficie, dividida por la permitividad del medio en el que está sumergida la carga”

La aplicación más empleada de este teorema será el cálculo de un campo eléctrico cuando existe una distribución de carga de gran simetría


CAMPOS ESCALARES. SUPERFICIES EQUIESCALARES. VECTOR GRADIENTE



Se dice que en una región del espacio existe un campo escalar si en todos los puntos de dicha región está definida una función escalar que es una función uniforme (y que por lo tanto será univaluada, contínua y derivable), y que será función  de las coordenadas de posición y del tiempo

U ( x, y, z, t)

Si el campo escalar no depende del tiempo, entonces se denomina estacionario

Ejemplos de campos escalares serían el potencial eléctrico, la temperatura, la presión atmosférica, …

Para representar los campo escalares se utilizan las superficies EQUIESCALARES, que son el lugar geométrico de los puntos en los cuales la magnitud toma un mismo valor. Ejemplo de superficies escalares sería la región de la atmósfera en la que existe una presión constante. Las superficies equiescalares se representan por:

U ( x, y, z, t ) = C         (siendo C el valor de la magnitud en la superficie)

La intersección de las superficies equiescalares con un plano establece las líneas de nivel (isobaras, isotermas, curvas de nivel, …)

Para representar un campo escalar se pueden utilizar las superficies equiescalares (en una representación en tres dimensiones) o las líneas de nivel (una representación en dos dimensiones). Al igual que en los campos vectoriales, existen criteior para establecer qué líneas hay que representar. Teniendo en cuenta que al tratarse de un campo univaluado, sabemos que en cada punto existirá un único valor de la magnitud. Por ello, por cada punto pasará sólo una línea de nivel.

El criterio establecido para la representación de las líneas de nivel es que la diferencia entre el valor  que toma la magnitud escalar en los puntos correspondientes a dos líneas de nivel consecutivas sea constante:

De esta forma, cuanto más cercanas estén las líneas de nivel, la variación de la magnitud será más rápida; mientras que en los casos en los que las líneas están más alejadas, la magnitud cambia más suavemente.

Se define el GRADIENTE de una magnitud escalar como un vector   9115.gifque se calcula realizando las siguientes integrales parciales:

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Con éste operador (nabla) se pueden realizar otras dos operaciones sobre campos vectoriales, que son:

* DIVERGENCIA.- Es el producto escalar del vector gradiente por el campo vectorial

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* ROTACIONAL.-  Es el producto vectorial del vector gradiente por el campo vectorial:

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1) Es un vector que apunta siempre en la dirección perpendicular a las líneas de nivel
2) Su sentido apunta siempre hacia la región donde la magnitud es creciente
3) Su módulo da la mayor variación posible de la magnitud escalar

POTENCIAL ELÉCTRICO. POTENCIAL CREADO POR DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS DE CARGA. ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA



Como ya sabemos, el campo eléctrico es un campo conservativo, por lo que la circulación entre dos puntos A y B seráindependiente del camino que elijamos:
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A esa función V es a lo que llamamos POTENCIAL ELÉCTRICO, que es un campo escalar. Por ello, podemos afirmar que cada campo vectorial conservativo lleva unido un campo escalar, de sus mismas características físicas (más o menos)

Al valor obtenido en la expresión anterior se le llama DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS, y se define como el trabajo que hay que realizar para llevar la unidad de carga positiva desde el punto A hasta el punto B. Se pone en ese orden para compensar que generalmente será una pérdida de potencial.

De esta forma, a partir de un campo vectorial conservativo sólo podemos obtener diferencias de potencial entre punto del campo. El potencial real en un punto cualquiera A sería:

V (A) = V (A) + C

Siendo C un valor que no conocemos

Si la distribución de cargas está limitada a una región del espacio, se supone que la interacción de dicha distribución de cargas con cualquier otra carga que pusiéramos en el infinito sería nula. Por lo tanto, en esas condiciones podemos suponer que el origen de potenciales se encuentra en el infinito

Si no se tiene una distribución contínmua de carga, para hallar el origen de potenciales habrá que recurrir a la expresión del potencial que nos den en función de las componentes cartesianas

Si tenemos una carga puntual, que crea un campo eléctrico de valor:

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Vamos a calcular ahora la expresión con la que obtendremos el valor del potencial. Para ello, vamos a calcular la diferencia de potenciales entre un punto A y el infinito, en el que supondremos valor de potencial nulo:

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En el caso de que tengamos una distribución de cargas, aplicaremos el principio de superposición para calcular el potencial total de todas las cargas sobre un punto:

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Si lo que tenemos es una distribución contínua de carga:

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En el caso de que tuviéramos el valor del potencial eléctrico, y quisiésemos hallar el valor de la intensidad de campo eléctrico, lo que tendríamos que hacer sería:

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Por tanto, si tenemos el valor del potencial eléctrico, podemos conocer el valor del campo eléctrico en cada punto, pero en el caso de que lo que tengamos sea el valor de la intensidad de campo, sólo podremos conocer el valor de una diferencia de potencial entre dos puntos.

ENERGÍA POTENCIAL



Como hemos dicho anteriormente, la expresión:
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representa el valor del trabajo que habrá que realizar para trasladar la unidad de carga positiva desde el punto A hasta el punto B. Pero en el caso de que no se trasladase la unidad de carga positiva, sino que se tratara de una carga cualquiera (Q), para hallar el trabajo deberíamos multiplicar la fuerza que realiza tal trabajo (en este caso sería la fuerza electrostática) por el desplazamiento producido:

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Además, como la fuerza electrostática es una fuerza conservativa, por el teorema del trabajo y la energía potencial, sabemos que para toda fuerza conservativa se cumple que:

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La energía potencial electrostática de una carga Q en un punto r sería:

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 CONDUCTORES Y DIELÉCTRICOS



ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES. CONDUCTORES CARGADOS EN EQUILIBRIO: DISTRIBUCIÓN DE LA CARGA, CAMPO Y POTENCIAL



A partir de ahora vamos a estudiar los sólidos, pero desde un punto de vista físico. Desde este punto de vista, se considera sólido aquel cuerpo que tenga una estructura cristalina, basada en una celda fundamental, que se repite a lo largo de todo el sólido. Los átomos que forman el sólido pueden estar situados en los vértices, en las caras o en el centro de cada celda fundamental, dependiendo de los enlaces que sean capaces de establecer.

Así, puede haber cristales formados por celdas fundamentales en las que los átomos se encuentren en las siguientes posiciones:
Cada átomo estará rodeado por un número de átomos que depende del tipo de celda que forme, y los átomos vecinos interactuarán más fuertemente cuanto más próximos estén entre sí. En el caso de los metales, los átomos que forman la red cristalina están muy próximos entre sí, lo que da lugar a interacciones fuertes entre los átomos vecinos.

En el modelo atómico, se establecen fuerzas de interacción entre los electrones de un átomo y su nucleo, e incluso entre los núcleos de un átomo y los electrones de otro átomo distinto:

Los electrones más externos son los que sufren mayor interacción de los núcleos de átomos vecinos, y menor interacción de su propio núcleo. Esas interacciones darán lugar a que con pequeñas aportaciones de energía, esos electrones externos puedan liberarse del átomo al que pertenecen

En el caso de los metales, con muy poca energía se pueden liberar los electrones más externos de cada átomo, de modo que un cristal metálico queda formado por iones positivos en a red, y electrones que hemos liberado y que pueden moverse libremente a lo largo de la red. Estos electrones pueden dar lugar a un transporte de energía eléctrica, de modo que diremos que el material es un conductor eléctrico.

Todos los materiales para los que se necesita poco aporte de energía para liberar electrones son considerados conductores. Los materiales que necesitan un gran aporte de energía para poseer electrones libres se denominan aislantes o dieléctricos

Vamos a estudiar ahora  algunas propiedades de los conductores:

1) CAMPO EN EL INTERIOR DE UN CONDUCTOR EN EQUILIBRIO:



Vamos a suponer un conductor con cargs libres, tanto positivas copmo negativas, que introducimos en un campo eléctrico, que ejercerá sobre el conductor una fuerza, especialmente sobre las cargas libres.

Esta fuerza va a provocar un desplazamiento de las cargas positivas en un sentido, y de las cargas negativas en el sentido contrario. Después de un pequeño tiempo, las cargas positivas tenderán a acumularse en un lado del conductor, y las cargas negativas tenderán a colocarse en el otro lado del conductor.

Esto va a provocar que esas cargas que se han separado van a crear un campo interno, en el interior del conductor cuyo sentido será desde las cargas positivas hacia las cargas negativas. Es por lo tanto de sentido opuesto al campo externo en el que habíamos introducido el conductor

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Mientras exista el campo externo, la fuerza que actúa sobre el conductor, y por consiguiente sobre sus cargas, seguirá existiendo, y por lo tanto, las cargas seguirán tendiendo a separarse, hasta que llegue un momento en el que el campo creado en el interior del conductor compense el campo externo, llegándose al equilibrio. En este momento, el campo en el interior del conductor es nulo, por lo que no habrá líneas de campo en el interior del conductor. Por ello, desaparecen las fuerzas sobre las cargas del conductor.

Lo mismo ocurre si en un conductor se inyectan cargas. Entonces, las cargas tenderán a moverse hasta que el campo en el interior sea nulo, por lo que no habrá líneas de campo en el interior del conductor.


2) POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN CONDUCTOR EN EQUILIBRIO


Si un conductor está en equilibrio, eso supone que el campo eléctrico en su interior es nulo. Supongamos un conductor en equilibrio, en el que consideramos dos puntos genéricos A y B

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Por lo tanto, en un conductor en equilibrio, todos sus puntos poseen el mismo potencial eléctrico

3) CARGA EN EXCESO



En el caso de que a un conductor le inyectemos carga en exceso, esa carga tenderá a separarse, ya que el conductor tiende a estar en equilibrio, por lo que el campo eléctrico en su interior tenderá a ser nulo

Tomando una superficie arbitraria en el interior del conductor, vamos a aplicarla el teorema de Gauss, por lo que se debe cumplir que:

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Por lo tanto, el total de la carga encerrada en el interior de la superficie tomada debe ser nula, es decir, que para una superficie arbitraria tomada en el interior del conductor, la carga encerrada es cero. Esto significa que la carga inyectada debe colocarse en la superficie del conductor, es decir, que la carga en exceso se distribuye por la superficie del conductor.

Esta conclusión concuerda con la expresión de la energía potencial eléctrica en un contínuo de carga. Como norma general, los sistemas físicos tienden al menor valor de energía potencial. Por ello, como se deduce de la expresión siguiente, la menor energía potencial proviene del momento de mayor distancia entre las cargas. Por ello, y dado que la carga se tiene que encontrar en el conducto, el momento de mayor distancia, y por lo tanto de menor energía potencial, tiene que ser aquel en el que la carga se encuentra en el a superficie, como así es:
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4) CAMPO EN LA SUPERFICIE



En puntos muy próximos a la superficie del conductor, ese campo es perpendicular a la superficie del conductor, y su sentido depende del signo de las cargas que haya en cada punto de la superficie del conductor. Su módulo será el cociente entre la densidad de carga que hay en cada punto de la superficie del conductor y la permitividad del medio:

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Si un conductor está en equilibrio, eso supone que no hay movimiento de cargas, por lo que no debe haber ningún tipo de desplazamiento, y por lo tanto tampoco lo habrá lateral. Por ello, todas las componentes del campo deben ser perpendiculares al conductor, ya que esas líneas de campo no provocan movimiento, al ejercer una fuerza que queda compensada por la del lado opuesto del conductor. Por ello, no deben existir componentes no perpendiculares al conductor del campo.

Además, como ya sabemos, las líneas de campo deben ser perpendiculares a las superficies equipotenciales. En este caso, como ya hemos demostrado que el propio conductor es en conjunto una superficie equipotencial, la superficie externa del conductor también lo será, por lo que las líneas de campo deben ser perpendiculares a la superficie externa del conductor.

Si a esa superficie infinitesimal, donde el campo sea constante le aplicamos el teorema de Gauss:
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En este caso, cuando nos referimos a la carga encerrada, nos referimos al total de la carga encerrada en el conductor, que sería la densidad de carga por la superficie externa del propio conductor, que es el lugar donde se encuentra la carga.

5) DENSIDAD DE CARGA EN LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR



La carga en exceso que posee un conductor y que se distribuye por la superficie del mismo no se reparte uniformemente por ella, sino que la densidad de carga en un punto de la superficie es inversamente proporcional al radio de curvatura de la superficie del conductor en dicho punto

En el caso de que tuviéramos un conductor con la siguiente forma:
de tal forma que el radiode curvatura de la zona uno fuera mayor que el radio de curvatura de la zona dos; y a su vez éste fuera mayor que el radio de curvatura de la zona tres. De esta forma, el radio de curvatura de la zona uno sería mucho mayor que el radio de la zona tres. Por ello, la densidad de carga de la región tres debería ser mucho mayor que la densidad de carga de la región uno.

Para verlo más claro, vamos a demostrarlo para el siguiente caso, en el que dos esferas de radios muy diferentes forman un único conductor, y están unidas entre sí mediante un hilo conductor muy largo, prácticamente infinito, lo que supone que apenas existe interacción entre las esferas:

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En este caso se ve claramente que la densidad de carga es inversamente proporcional al radio de curvatura. Además, se deduce que la densidad de carga de la esfera menor debe ser mucho mayor que la densidad de carga de la esfera mayor

INDUCCIÓN ELECTROSTÁTICA



El fenómeno de inducción electrostática va a permitir cargar conductores con unos valores muy grandes de carga, debido unicamente a la interacción de estos conductores con otros conductores más grandes. Las altas cargas que pueden adquirir así van a dar como consecuencia que estos conductores están sometidos a unos potenciales muy elevados.

Vamos a suponer dos esferas concéntricas que en un cierto instante de carga están definidas por unos valores concretos de carga. La esfera mayor vamos a suponer que posee un valor de carga cualquiera, que puede ser cero, y que la esfera menor posee un valor infinitesimal de carga. El campo en el exterior de ambas esferas (que serán conductores) sería:

Aplicando el teorema de Gauss:

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Entonces, si hallamos la diferencia de potencial que existiría entre un punto en la región intermedia entre ambas esferas y un punto exterior a ambas esferas, obtendríamos que:

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Entonces, si hallamos la diferencia de potencial que existiría entre un punto en la región intermedia entre ambas esferas y un punto exterior a ambas esferas, obtendríamos que:

Por lo tanto, si la carga es positiva, el potencial de la esfera interna tiene que ser mayor que el potencial de la esfera externa (porque la diferencia de potencial es positiva). Sólo podrán tener valores iguales de potencial cuando la carga de la esfera interna sea cero.

Si conectamos ambas esferas entre sí, formando un único conductor, el potencial debe ser el mismo para mabas esferas, pero eso sólo ocurre cuando la carga de la esfera interna sea nula, por lo que se deduce que la esfera interna transmite a la carga total, es decir, a la superficie de la esfera externa.

El fenómeno de la inducción consiste en que si ahora se le transmite una carga a la esfera más pequeña, ésta lo transmitirá a la esfera mayor, porque el potencial en ambas debe ser igual, y eso sólo ocurre cuando la esfera interior está descargada. Por ello, la que conseguiriíamos sería inducir grandes potenciales a la esfera mayor, mediante la transmisión de una carga contínua a la esfera mayor

CAPACIDAD DE UN CONDUCTOR


Si suponemos que tenemos un conductor cargado y aislado, y consideramos el origen de potenciales eléctricos en el infinito, entonces el potencial que adquiere dicho conductor es proporcional a la carga aque posee. Dicha constante de proporcionalidad, que relaciona la carga con el potencial, sólo depende de la forma geométrica y del tamaño del conductor, y es independiente de la carga y del  potencial

En general, cuanto mayor sea el conductor, mayor será la carga que es necesario suministrarle para que adquiera un potencial dado. Como hameos deducido anteriormente, si tenemos una esfera aislada de carga “q”, poseera un potencial que vendrá dado por la expresión:

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La relación entre la carga que posee un conductor y el potencial que adquiere debido a esa carga se denomina CAPACIDAD DEL CONDUCTOR, y es una constante que sólo depende de la forma del conductor y de sus dimensiones.

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En el caso de un conductor esférico, la constante de proporcionalidad, es decir, la capacidad del conductor, sería la siguiente expresión:

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En el sistema internacional, la unidad de capacidad es el FARADIO, que se define como la capacidad de un conductor que adquiere un potencial de un voltio cuando se le suministra un culombio de carga.

CAMPO, POTENCIAL Y ENERGÍA POTENCIAL DE UN DIPOLO



Un dipolo es un sistema formado por dos cargas de igual valor, pero de signos opuestos, que están separadas una distancia “d”
Vamos a calcular el campo eléctrico en los puntos del dibujo. Para ello, aplicaremos el principio de superposición:

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En esta última expresión, en el caso de que la distancia a la partícula sea mucho mayor que la distancia entre las cargas, se puede considerar que el cociente de la segunda fracción sería el cuadrado de la distancia al punto, es decir:

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Aplicandolo ahora en la expresión anterior:

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Vamos a definir ahora una nueva magnitud, el momento dipolar (p), que va a ser una magnitud vectorial que representa la fuerza de un dipolo, y que está representado por un vector cuya dirección es la línea que une dos cargas, y cuyo sentido será desde la carga negativa hacia la carga positiva, o de la carga de menor valor hacia la carga de mayor valor. Su módulo está representado por la expresión:

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Si introducimos esta magnitud en la expresión del campo eléctrico:

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Vamos ahora a calcular el campo eléctrico que crean las cargas sobre el punto en el eje Y:

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En el caso de que tuviéramos un punto cualquiera, con coordenadas polares, en lugar de cartesianas, la forma de cálculo del campo sería análoga:

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Vamos a hallar ahora el potencial eléctrico creado por el dipolo, pero al tratarse de una magnitud escalar, que carece de carácter vectorial, se puede calcular en un punto cualquiera del espacio:

Aplicando el principio de superposición, lo que hacemos es hallar el potencial total creado por las dos cargas que conforman el dipolo:

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Volvemos a suponer que nos encontramos en determinados puntos del espacio, donde la distancia al punto es mucho mayor que la distancia entre las cargas. Por ello, como el ángulo superior se va cerrando, llegará un momento en el que la distancia del punto a una de las cargas sea prácticamente equivalente a la distancia del punto a la otra carga 9151.gif
Además, los ángulos inferiores también se irán aproximando, por lo que se podrá decir quela diferencia de distancias será equivalente a la distancia entre cargas por el coseno del ángulo que se formaría, que sería más o menos el mismo en los tres casos:

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Vamos a suponer que tenemos un campo eléctrico uniforme, en el que introducimos un dipolo, el cual tendrá definida la magnitud momento dipolar (p):

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Este producto vectorial sería nulo sólo en el caso de que los vectores fueran paralelos (ya que los vectores no pueden ser nulos, ya que si lo fueran, no habría dipolo o campo en el que se introduce el dipolo). El que los vectores sean paralelos ocurre cuando se ha finalizado el giro, por lo que en el momento en el que el dipolo está horizontal, finaliza la acción de los momentos.

El momento ejercerá un trabajo, ya que al moverse espontáneamente el dipolo, supone que hay una variación de energía potencial hacia un lugar con menor valor, por lo que esa variación coincide con el trabajo que realiza el campo para desplazar el dipolo:

Vamos a calcular esa energía potencial:

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Si el campo no fuera uniforme, y en él introdujéramos el dipolo, lo que ocurriría sería que primero aparecerían unas fuerzas sobre el dipolo, sobre cada una de las cargas, de diferente intensidad:

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Se formaría también el par de fuerzas que tendería a orientar el dipolo, y una vez orientado, se vería atraido hacia las zonas del campo más intensas (como el boli y los papelitos)


ESTRUCTURA Y PROPIEDADES DE LOS DIELÉCTRICOS:



En general, los materiales están compuestos por átomos o por moléculas. Los átomos tienen una estructura tal que el centro de las cargas positivas y el centro de las cargas negativas coinciden, es decir, que de forma natural no forman dipolos. Las moléculas, en cambio, pueden ser dipolos naturales, en los que no coinciden los centro de gravedad de las cargas positivas y de las cargas negativas, en cuyo caso se llaman MOLÉCULAS POLARES; o pueden no formar dipolos naturales, coincidiendo los centro de las cargas, siendo denominadas en este caso MOLÉCULAS NO POLARES O APOLARES

Un ejemplo sencillo de molécula polar sería la molécula del agua, y un ejemplo de molécula apolar serían los anillos del benceno:

Una sustancia formada por moléculas apolares carece de dipolos, y además, el momento dipolar total será nulo, porque los momentos dipolares de cada una de sus moléculas será cero:

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En el caso de sustancias formadas por moléculas polares, en su interior  hay moléculas en las que los centros de las cargas positivas y de las cargas negativas son distintas, de tal forma que existen dipolos, y por lo tanto:

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Debido a la agitación térmica, esos dipolos están orientados aleatoriamente, por lo que irán compensando unos con otros, por tener cada uno una orientación diferente. Por ello, en ausencia de un campo eléctrico externo, las sustancias formadas tanto por moléculas polares como por moléculas apolares presentan un momento dipolar total nulo.

Si introducimos las sustancias en un campo eléctrico, en el caso de las moléculas polares, el campo tenderá a orientar los dipolos de forma paralela a sus líneas de campo, por lo que la nueva distribución de la sustancia sería:

Pero debido a las interacciones entre los dipolos, así como la agitación térmica, en realidad lo que ocurre es que la distribución varía un poco:

Cuanto mayor sea el campo eléctrico, mayor será el orden, porque a mayor fuerza, menor importancia de los factores que provocan     este “desorden”

En este caso, el momento dipolar total será distinto de cero, porque todos los dipolos están colocados paralelamente, por lo que no se compensarían, ya que los momentos dipolares apuntarán todos en el mismo sentido. Esto supone que la sustancia presentará un momento dipolar total.

En el caso de las sustancias formadas por moléculas apolares, pese a carecer de dipolos, las cargas se verán sometidas a una fuerza eléctrica provocada por el campo eléctrico, por lo que las moléculas se deformarán, distanciándose los centros de las cargas negativas y de las cargas positivas. Se producirían entonces una polarización de la molécula apolar, y eso provocaría la aparición de un momento dipolar total.

Esos dipolos, desde un punto de vista macroscópico, van a provocar que en el interior de la sustancia, las cargas se vayan compensando, por lo que la carga interna será cero, pero en la superficie no va a ser así:

Entonces, la propia sustancia se va a convertir un dipolo muy grande. A esas cargas se les llama CARGAS INDUCIDAS, cuya densidad de carga será  i. Estas cargas no estarán libres, ya que no pueden moverse, ya que forman parte de una estructura. Por ello, estas sustancias no serán conductoras, sino dieléctricas..





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