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Constante de Madelung de una red lineal y una bidimensional cuadrada por el método de Ejven - Monografía



 
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Estado sólido. Cristal iónico, iones. Primeros, segundos, terceros vecinos. Redes lineales unidimensionales bidimensionales



Física del estado sólido



Trabajo: Cálculo de la constante de Madelung de una red lineal(unidimensional) y una bidimensional cuadrada por el método de Ejven.

Un cristal iónico, como su propio nombre indica, está formado por iones; estos iones interaccionan entre sí por medio de interacción electrostática principalmente, pudiéndose expresar esta por medio de la ley de Coulomb.
La energía de interacción coulombiana entre dos iones i y j es:

a16849.gif

Por lo que la energía electrostática de toda la red es:
a16850.gif

Debido a la regularidad del cristal esta suma se puede poner de la manera siguiente:

a16882.gif

Donde d es la separación entre iones próximos y es la constante de Madelung. Esta constante depende solo de la distribución espacial de los iones en la red.

Nosotros vamos a calcular el valor de esta constante para una red unidimensional lineal, bidimensional cuadrada y tridimensional cúbica. Para ello vamos a considerar celdas de carga neutra, donde la carga de los iones de la frontera será una fracción de la carga total del ion dependiendo de las celdas contiguas en las que esté repartido(método de Ejven).

RED LINEAL



Aproximación a primeros vecinos

a16852.gif

Aproximación a segundos vecinos

a16853.gif
Aproximación a terceros vecinos
a16854.gif

Aproximación a cuartos vecinos

a16855.gif

Aproximación a cuartos vecinos

a16858.gif

De donde obtenemos la constante de Madelung

a16857.gif
O lo que es lo mismo:

a16859.gif

Para calcular la suma la comparamos con el desarrollo en serie de ln(1+x):

a16860.gif

Tenemos que si x=1 entonces :

a16861.gif

Con lo que la constante de Madelung para la red unidimensional es:

RED BIDIMENSIONAL CUADRADA



Aproximación a primeros vecinos

a16863.gif

Con lo que:

a16864.gif

Aproximación a segundos vecinos:

a16865.gif

Aproximación a terceros vecinos

a16866.gif

Por lo que la constante de Madelung en tercera aproximación es:

a16867.gif

Aproximación para cuartos vecinos

a16868.gif

Por tanto en cuarta aproximación:

a16869.gif

Aproximación a quintos vecinos:
Operando de forma análoga se obtiene:

a16870.gif

Aproximación a sextos vecinos:

a16871.gif

Aproximación a séptimos vecinos:

a16872.gif

De forma análoga obtenemos para octavos, novenos y décimos vecinos:

a16873.gif

Claramente se observa que los valores de la constante de Madelung convergen a un valor que es . Y que la diferencia entre la aproximación a novenos y decimos vecinos se encuentra en la quinta cifra decimal.

RED TRIDIMENSIONAL CÚBICA



Calcularemos la constante de Madelung para el caso particular de la red cristalina del NaCl.

Aproximación a primeros vecinos:

a16874.gif

Aproximación a segundos vecinos:

La red ahora es un cubo formado por 5*5*5 iones; para hacernos una idea de la red dibujamos las caras superior e inferior y los planos interiores paralelos a dichas caras, formados estos por 5*5 iones.

Cara superior e inferior(1):

a16875.gif

Planos intermedios(2):

a16876.gif

Plano central(3):

a16877.gif

Aproximación a terceros vecinos

Igual que antes consideraremos la red como un conjunto de planos paralelos cada uno de ellos formado por 7*7 iones, separado cada uno de ellos por una distancia ‘a’.

Operando exactamente igual que antes se tiene que el valor de energía es:

a16878.gif

*A la suma de los diez primeros sumandos la llamamos B.

De donde se tiene el valor de la constante de Madelung (sacando factor común q/a.

a16879.gif

Aproximación a cuartos vecinos:

a16880.gif

De donde se tiene que (despejando q/a) la constante de Madelung para una red cristalina de NaCl es:

a16881.gif


Autor:

Joshua Fonseca Martín





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