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Filtro de Kalman parte 2 - Monografía



 
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El ejemplo: La partícula cobrada en un campo del dipolo 



En este ejemplo, varias coordenadas del x,y están moderadas en las regiones de ningún campo magnético en z fijo posiciona upstream y ” downstream de un imán del dipolo (con el componente primario transverso al eje de la viga). UN total de 20 estaciones rastreando con un espacio uniforme de 1 metro es simulado; cada uno rastreando la estación proporciona una resolución de 5 mm a una medida de ambos posición transversa en cada coordenada. Cada uno rastreando la estación representa una longitud de la radiación de 1%. Ninguna pérdida de energía es simulada. El campo magnético se localiza después de la 10 estación rastreando y antes de los 11. Hay sólo un componente, la magnitud de que es una función de Gaussian de la posición longitudinal, con un valor máximo de 5 Tesla y un RMS espaciales de 0.1 metro, representando un puntapié de velocidad adquirida de 0.376 GeV/c. Nosotros escogemos nuestro vector estatal para ser de dimensión 5, mientras representando las dos posiciones transversas, las cuestas transversas, y el cargo a la proporción de velocidad adquirida. A cada iteración del filtro salvo el uno que los travesaños el campo magnético, las ecuaciones de movimiento son lineales. La única complicación involucra múltiplo esparciendo que se tiene en cuenta a través de la proceso ruido covarianza matriz. Nosotros usamos el cálculo de Wolin y Ho [5]. La propagación del vector estatal entre los 10 y 11 aviones es casi lineal, pero no realmente. Nosotros el linearize el sistema calculando derivado del vector estatal primero con respecto a sí mismo. En el filtro de Kalman, la propagación no se hace tomando el producto de la matriz del propagador con el vector estatal, sino nadando el vector estatal a través del campo magnético. La matriz de propagador de linearized se usa calculando la matriz de la covarianza estatal y los Kalman ganan la matriz.

El filtro de Kalman aplicó a la partícula cobrada en un campo del dipolo. La distribución de velocidad adquirida se traza en (un). La diferencia entre la velocidad adquirida en buen salud y verdaderas divididas por la verdadera velocidad adquirida se muestra en (b). El valor malo de la proporción de velocidad adquirida en buen salud se muestra como una función de velocidad adquirida en (c). El cuadrado del RMS de la proporción de velocidad adquirida en buen salud se muestra como una función de velocidad adquirida cuadrada en (d).

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El campo magnético representa un pT simple da saltos en la dirección de x:

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De esto nosotros calculamos que se relaciona la incertidumbre fraccionaria en la velocidad adquirida a la incertidumbre en la theta del ángulo por

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La incertidumbre en el theta tiene dos componentes: uno de la resolución espacial en la medida y otro del múltiplo esparcir. El componente de la resolución espacial es independiente de velocidad adquirida, considerando que que por el múltiplo esparcir es proporcional al lo inverso de velocidad adquirida. N dado allana, la incertidumbre angular debido a la resolución espacial es.

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Donde el ex = 5 mm es la resolución espacial y L = 1 m es la distancia entre los aviones. Para la mitad del descubridor (N = 10), nosotros encontramos la incertidumbre angular para ser 0.00055. La incertidumbre en el theta es 0.00078 que son la raíz 2 veces la incertidumbre angular por la mitad el descubridor. La incertidumbre angular debido a múltiplo que esparce en un avión es.

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Donde el x/x0 = 0.01 son la longitud de la radiación de un avión. Múltiplo que esparce en los primeros ocho o últimos ocho aviones no contribuye a la incertidumbre en theta que es la diferencia angular entre las dos mitades del descubridor. Por consiguiente, la incertidumbre en el theta es dos veces igual a (raíz 4) el solo avión la incertidumbre angular, y es igual a 0.0022/p. Agregando los dos componentes de incertidumbre angular en la cuadratura, nosotros encontramos que la incertidumbre del fragmento en la velocidad adquirida tiene dos componentes: uno que es la deuda constante al múltiplo esparcir, y otra de la resolución espacial y qué tiene una dependencia en la velocidad adquirida:

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Esto está de acuerdo bastante bien con los valores observados en (d). Así, nosotros estamos seguros que en este ejemplo de una partícula cobrada en un campo del dipole con múltiplo que esparce incluido, el filtro de Kalman está dando los resultados sensatos.

Considere el problema de estimar las variables de algún sistema. En los sistemas dinámicos (es decir, sistemas que varían con tiempo) las variables del sistema se denotan a menudo por las variables de estado de término. Asuma que las variables del sistema, representadas por el vector x, son gobernadas por la ecuación xk+1 = Axk + wk dónde el wk es el ruido del proceso al azar, y los subíndices en los vectores representan el paso del tiempo. Por ejemplo, si nuestro sistema dinámico consiste en una nave espacial que está acelerando con los estallidos del azar de gas de su Reacción, el vector x podrían consistir en posición p y velocidad v. Entonces la ecuación del sistema sería

Ecuación 1
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donde el ak es el azar, la aceleración tiempo-variante y T es el tiempo entre el paso k y el paso k+1 . Ahora supongamos que podemos medir la posición p, entonces nuestra medida en el tiempo k podemos denotarla como:

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dónde el vk es el ruido de medida de azar.

La pregunta que se hace al filtro de Kalman es: ¿Dado nuestro conocimiento de la conducta del sistema, y dado nuestras dimensiones, cual es la mejor estimación de posición y velocidad? ¿Nosotros sabemos cómo se comporta el sistema según su ecuación, y si tenemos las medidas de la posición, cómo podemos determinar la mejor estimación de las variables del sistema? Ciertamente hacemos mejoras en cada medida a su valor, sobre todo si nosotros sospechamos que se tiene mucho ruido de la medida.

El filtro de Kalman se formula como sigue. Supongamos que asumimos a wk como ruido del proceso ó ruido del gaussiano blanco con una matriz de la covarianza Q. Further asume que el ruido de la medida es el ruido del gaussiano blanco con una matriz de la covarianza R, y que no se pone en correlación con el ruido del proceso. Nosotros podríamos formular un algoritmo de estimación tal que el sostenimiento de las condiciones estadísticos sea el siguiente:

1. El valor esperado de nuestra estimación es igual al valor esperado del estado. Es decir, “en el promedio,” nuestra estimación del estado igualará el verdadero estado.

2. Nosotros queremos un algoritmo de estimación, de todo los posibles algoritmos de estimación, nuestro algoritmo minimiza el valor esperado del cuadrado del error de estimación. Es decir, “en el promedio,” nuestro algoritmo da el “más pequeño” posible error de estimación.

Él para que pasa que el filtro de Kalman es el algoritmo de estimación que satisface éstos el criterio. Hay que muchas maneras alternativas de formular el Kalman se filtran las ecuaciones. Se da una de las formulaciones en las ecuaciones siguientes.

Las ecuaciones 2 - 5

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En las ecuaciones anteriores, el exponente -1 indica inversión de la matriz y el exponente que T indica la transposición de la matriz. S se llama la covarianza de la innovación, K se llama la matriz de ganancia, y P se llama la covarianza del error de la predicción.

La ecuación 5 es bastante intuitiva. El primer término derivaba la estimación estatal al k+1 de tiempo es simplemente A veces la estimación estatal en momento k. Ésta sería la estimación estatal si nosotros no teníamos una medida. En otros términos, la estimación estatal propaga a tiempo sólo como el vector estatal (vea Ecuación 1). El segundo término en la ecuación 5 se llama el término del corrector, y representa cuánto corregir la deuda estimada propagada a nuestra medida. La inspección de la ecuación 5 indica que si el ruido de la medida es muy mayor que el ruido del proceso, K será pequeño (es decir, nosotros no daremos mucha creencia a la medida); si el ruido de la medida es mucho más pequeño que el ruido del proceso, K será grande (es decir, nosotros daremos mucha creencia a la medida).

El filtrado Kalman es un campo grande cuyo profundidades que nosotros no podemos esperar empezar a aplomar en semejante papel breve como esto. Los miles de papeles y docenas de libros de texto han sido escrito en este asunto desde que su principio en 1960. Algunos problemas que complican la aplicación del filtro de Kalman son como sigue.

¿1. nosotros hemos asumido que la ecuación del sistema es lineal (vea la ecuación 1). Si la ecuación es no lineal?

¿2. si el ruido de la medida y el ruido del proceso Gaussiano son, no blanco, y no independiente de nosotros?

¿3. si las estadísticas (por ejemplo, la matriz de la covarianza) del ruido no es conocido?

4. las ecuaciones 2–5 son las ecuaciones de la matriz, y como tal puede imponer una carga grande para los sistemas computacionales alto-dimensionales.

¿5. Si las características del ruido cambian con el tiempo? ¿Nosotros podemos formular un filtro de Kalman que se adapta con el tiempo a los cambios en las características del ruido de algún modo?

Aprendiendo el algoritmo de Kalman



El Filtro de Kalman dimensional


Suponga que nosotros tenemos una variable al azar el x(t) de quien nosotros queremos estimar sus valores para t0 ,t1, t2, el t3, etc. También, supongamos que sabemos que x(tk) satisface una ecuación dinámica lineal.
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En la ecuación anterior  9974.gif es un número conocido. Para trabajar a través de un ejemplo numérico permítanos asumir

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Kalman asumió ese u(k) que es un número al azar seleccionado escogiendo un número de un sombrero. Suponga los números en el sombrero es tal que la media de u(k) = 0 y la variación de u(k) es Q. Para nuestro ejemplo numérico, nosotros tomaremos Q como 100.

Esto es:

Eu(k)=0

E[u(k) ]2 = 100

Donde E es el operador de valor esperado.

Desde el u(k) es determinado escogiendo un número de un sombrero, su valor es independiente del valor de x o cualquier otro azar inconstante y el más sobre todo es independiente de los valores pasados de u. Una variable del azar cuyo valor es independiente de los valores de todas las otras variables del azar al cual se le llama llama el ruido blanco.

En las lecciones más tarde nosotros nos extenderemos los Kalman se filtran a casos dónde la ecuación dinámica no es lineal y donde u no es el ruido blanco. Pero para esta lección, la ecuación dinámica es lineal y w es el ruido blanco con media cero.

Para aquéllos que son un poco mohoso en la teoría de probabilidad: si el x(k) y u(k) es dos variables del azar independientes, entonces el valor esperado de su producto se da por

Ex(k)u(k)=Ex(k) Eu(k)

Para nuestro caso Eu(k)=0 para que

Ex(k)u(k) =0

Cuando el valor esperado del producto de dos variables es cero, se dice que las variables no esta en correlacion.

Ahora suponga eso al t0 de tiempo alguien vino y le dijo él pensó el x(t0)=1000 pero que él podría estar en el error y él piensa la variación de su error es igual a P. suponga que usted tenía mucho confianza en esta persona y, por consiguiente, se convenció que ésta era la posible estimación mejor de x(t0). Ésta es la estimación inicial de x. a veces se llama el a priori la estimación.
Un filtro de Kalman necesita una estimación inicial para empezar. Esta como un artefacto automovilístico que necesita un motor del juez de salida para conseguir la ida. Una vez consigue la ida que no necesita el motor del juez de salida ya. Mismo con el filtro de Kalman. Necesita una estimación inicial para conseguir la ida. Entonces no necesitará más estimaciones de fuera. En las lecciones más tarde nosotros discutiremos posibles fuentes de la estimación inicial pero para ahora sólo asuma alguna persona vino y lo dio a usted.

Así que nosotros tenemos una estimación de x(t0), que nosotros llamaremos xe. para nuestro ejemplo.

xe = 1000

La variación del error en esta estimación se define por

P = E [(x(t0) -xe)2]

donde E es el operador de valor esperado. el x(t0) es el valor real de x al t0 de tiempo y el xe es nuestra estimación mejor de x. Así el término en los paréntesis es el error en nuestra estimación.

Para construir un filtro de Kalman, nosotros necesitamos saber el valor de P. De nuevo nosotros asumiremos que la persona que nos dijo que el xe = 1000 también nos dijeron el valor de P. De nuevo, éste es simplemente un artificio para conseguir el filtro de Kalman empezado. Para el ejemplo numérico, nosotros tomaremos P = 40,000.

Ahora nos gustaría estimar el x(t1). Recuerda que la primera ecuación nosotros escribimos (la ecuación dinámica) era
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Por consiguiente, para el k=0 nosotros tenemos
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Dr. Kalman dice nuestra nueva estimación mejor de x(t1) se da por

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o en nuestro ejemplo 900 numérico.

Haga que usted ve por qué Dr. Kalman tiene razón. Nosotros tenemos ninguna manera de estimar el u(0) excepto para usar su valor malo de cero. Cómo sobre el x(t0 de F). Si nuestra estimación inicial de x(t0) = 1000 eran entonces correctos el x(t0 de F) sería 900. Si nuestra estimación inicial fuera alta, entonces nuestra nueva estimación será alta pero nosotros tenemos ninguna manera de saber si nuestra estimación inicial era alta o baja (si nosotros tuviéramos alguna manera de saber que era alto que nosotros lo habríamos reducido). Para que 900 son la estimación mejor que nosotros podemos hacer. ¿Cuál es la variación del error de esta estimación?
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Sustituya las ecuaciones anteriores en para el x(t1) y el newxe y usted consiguen.

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El último término es el cero porque se asume que u es el no correlativo con ambos  9981.gif

Así que, nosotros nos salimos con

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Para nuestro ejemplo, nosotros tenemos

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Ahora, permítanos asumir nosotros hacemos una medida ruidosa de x. Llame la medida y y asuma y se relaciona a x por una ecuación lineal. (Kalman asumió que todas las ecuaciones del sistema son lineales. Esto se llama la teoría del sistema lineal. En las lecciones más tarde, nosotros nos extenderemos los Kalman se filtran a los sistemas non-lineales.)

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donde w es el ruido blanco. Nosotros llamaremos la variación de w, “R”. para construir un filtro de Kalman es necesario saber los valores de R y M.
Nosotros usaremos para nuestro ejemplo numérico M = 1, R = 10,000 y y(1) = 1200
Note que si nosotros hubiéramos querido estimar el y(1) antes de que nosotros miráramos el valor moderado que nosotros usaríamos
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para nuestro ejemplo numérico nosotros tendríamos ye = 900
Dr. Kalman dice la nueva estimación mejor de x(t1) se da por
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donde K es que un número llamó la ganancia de Kalman.

Conocemos que y(1)-ye es simplemente nuestro error estimando el y(1). Para nuestro ejemplo, este error es igual a ventaja 300. La parte de esto es debida al ruido, w y parte a nuestro error estimando x.

Si todo el error fuera debido a nuestro error estimando x, entonces nos convencerían que el newxe era bajo por 300. K=1 poniendo corregirían nuestra estimación por el lleno 300. Pero subsecuentemente alguno de este error es debido a w, nosotros haremos una corrección de menos de 300 proponer el newerxe. Nosotros pondremos K a algún número menos de uno.

¿Qué valor de K nosotros debemos usar? Antes de que nosotros decidamos, permítanos computar la variación del error resultante
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donde las condiciones del producto cruzadas dejaron caer fuera porque se asume que w es el no correlativo con x y newxe. Así que el más nuevo valor de la variación se da ahora por

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Si nosotros queremos minimizar el error de estimación que nosotros debemos minimizar el newerP. Nosotros hacemos eso diferenciando el newerP con respecto a K y poniendo al igual derivativo para poner a cero y resolviendo entonces para K. un poco muestras de álgebra por que el K óptimo se da

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Para nuestro ejemplo, K = .7647

newerxe = 1129

el newerP = 7647

la variación de nuestro error de estimación está disminuyendo.

Éstas son las cinco ecuaciones del filtro de Kalman. Al t2 de tiempo, nosotros empezamos usando el newerxe de nuevo para ser el valor de xe para insertar en ecuación 1 y newerP como el valor de P en ecuación 2. Entonces nosotros calculamos K de ecuación 4 y usamos eso junto con la nueva medida, y(2), en ecuación 3 para conseguir otra estimación de x y nosotros acostumbramos ecuación 5 a conseguir los P. correspondientes Y esto persigue en ciclo de la computadora ciclo de la computadora.

En el filtro de Kalman multi-dimensional, x es una matriz de la columna con muchos componentes. Por ejemplo si nosotros estuviéramos determinando la órbita de un satélite, x tendrían 3 componentes que corresponden a la posición del satélite y 3 más correspondiendo a la velocidad más otros componentes que corresponden a otras variables del azar. Entonces ecuaciones 1 a través de 5 se volverían las ecuaciones de la matriz y la simplicidad y lógica intuitiva del filtro de Kalman se disimula. Las lecciones restantes se tratan de la naturaleza más compleja del filtro de Kalman multi-dimensional.

CONCLUSIONES 



Debido a su ilusoriamente simple y fácilmente programado algoritmo optimo el Filtro  Kalman continúa siendo el método de la integración adecuado en sistemas de  navegación basados en el  GPS. Requiere modelos estadísticos de todas las variables y ruidos  multidimensionales suficientemente exactos  apropiados a los pesos de los datos de las mediciones de los ruidos. Estos modelos permiten al filtro considerar para el carácter disipar de los errores en sistemas diferentes y mantienen una combinación integrada óptima de sistemas de gran potencia. La naturaleza de la recursividad del filtro permite un proceso de tiempo real eficaz. Los estudios de la  covarianza de fuera de-línea permiten predecir la actuación del sistema integrada antes del desarrollo y proporcionan un conveniente y fácil uso de la  herramienta del plan de sistema.

PREDICCIÓN MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL FILTRO DE KALMAN DE MODELOS LINEALES



Esta tecnología permite, mediante la metodología Bayesiana, hacer predicciones a lo largo del tiempo de cualquier suceso sujeto a incertidumbre. Este suceso puede ser el caudal que baja por un río en régimen de avenida, la demanda de material a un almacén, etc.

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Esta tecnología ha sido aplicada a las cuencas del río Ebro y Duero para realizar predicciones de la evolución de caudales y avenidas.
El modelo consiste en suponer que las observaciones a predecir 9990.jpg  son funciones lineales de observaciones realizadas que dependen de los parámetros  9990.jpgen la forma

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Y donde los parámetros a su vez se relacionan mediante la ecuación

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El modelo consiste en suponer que las observaciones a predecir  t son funciones lineales de observaciones realizadas que dependen de los parámetros  t en la forma
t=F’t t+ t

Y donde los parámetros a su vez se relacionan mediante la ecuación

t=Gt t-1+ t

En cada momento, al recibir nuevos datos reales, se hacen ajustes y se realizan las predicciones para los instantes siguientes.

En muchas situaciones, el “estado de la naturaleza” es cambiante a lo largo del tiempo, por lo que los modelos lineales ajustados para un momento no sirven para instantes sucesivos. El filtro de Kalman supera esta dificultad al ir reajustando automáticamente el modelo, con lo que se logran mejores predicciones que con otros modelos clásicos.

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Ejemplo de resultado de un filtro de Kalman.



La investigación ha sido realizada en el Departamento de Estadística e Investigación Operativa I de la Facultad de CC. Matemáticas. Se ha diseñado un algoritmo, que se ha implementado en un programa de ordenador, para poder hacer predicciones en tiempo real. Ha sido aplicado con éxito a la cuenca del río Ebro y del Duero para realizar predicciones de la evolución de caudales y avenidas para la empresa IBERDROLA S.A.

Dentro del campo de la predicción dinámica el Departamento de Estadística e Investigación Operativa I, ha abordado distintos proyectos de colaboración con empresas y puede prestar diversos servicios que incluyen:

- Estudio del problema de predicción del cliente y determinación del modo en que el filtro de Kalman se puede aplicar a cada problema particular.
- Desarrollo del modelo y ajuste de sus elementos a los datos históricos, para realizar las predicciones en tiempo real.
- Desarrollo informático del programa aplicado a las necesidades del cliente.
- Formación del personal de la empresa para la mejor utilización del programa y su adaptación a nuevas situaciones.
- Asistencia, después de concluido el proceso de transferencia, para la resolución de los problemas, tanto teóricos como prácticos, que puedan presentarse

Señales unidimensionales



- Filtro de Kalman en navegación



Un filtro de Kalman es esencialmente una versión recursiva y en tiempo real de un algoritmo de estimación. Un ejemplo tipico de aplicación de estos filtros es en navegación. Dado nuestro conocimiento de las ecuaciones dinámicas de p.e. un avión o un satelite y dada una serie de medidas ruidosas de su posición ir determinando en tiempo real (es decir, actualizandose con cada nueva medida, en vez de esperar a tenerlas todas).
La gráfica siguiente refleja el resultado de aplicar nuestro filtro de Kalman a la estimación de la altura de un avión a partir de unos datos (más o menos erróneos) de un acelerómetro y un altímetro. La línea discontinua muestra la verdadera altura, mientras que las cruces indican las mediciones del altímetro, que como se observa forman una banda de unos 100 mt alrededor de la verdadera posición. La línea continua nos dá la estimación del filtro de Kalman. Vemos que en un aterrizaje es mucho mejor que nuestro piloto haga caso al Dr. Kalman y no al altímetro.

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- Eliminación adaptativa de ruido



Un filtro adaptativo es aquel en el que podemos variar sus parámetros para intentar satisfacer un cierto criterio. Tienen numerosas aplicaciones, de entre las cuales aquí ilustramos la reducción de ruido en una señal de voz. En la fila superior tenemos una señal de voz (la s[n] original que desconocemos). En la segunda mostramos lo que grabamos en nuestro micro, la señal anterior y un gran ruido superpuesto. Finalmente el la tercera fila mostramos el error e[n] del algoritmo adaptativo, que como hemos visto es muy similar a la señal original (en todo caso muchísimo mejor que la versión inicial).
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Más allá la Lectura 



La literatura del Filtro Kalman abunda, con aplicaciones que van de la navegación de una nave espacial al demográfico de la carne francesa de la manada ganadera. Para aliviarlo en él, aquí están unas sugerencias:

BIBLIOGRAFIA Y DIRECCIONES DE INTERNET



http://www.cs.unc.edu/~welch/kalmanIntro.html
P. Maybeck, Modelos Estocásticos, Estimación, y Mando. La Prensa académica, Nueva York, 1979.

De la Teoría del Movimiento de los cuerpo celestes que se mueven alrededor  del Sol en Secciones Cónicas, una traducción por C.H. Davis de C.F. los 1809 Theoria Motus Corporum de Gauss
Coelestium en Sectionibus Conicis Solem Ambientium. La traducción de Davis de 1857 que fue publicada por Publicaciones de Dover, Inc., Nueva York, en 1963.

“The Kalman Filter,” a site maintained by G. Welch and G. Bishop of the University of North Carolina at Chapel Hill’s Department of Computer Science: http://www.cs.unc.edu/~welch/kalmanLinks.html

Autor:

José Francisco Espinoza Matos





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