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Aplicaciones matemáticas Conjunto cartesiano - Monografía



 
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Ciencias matemáticas. Operaciones. Problemas matemáticos. Conjunto cartesiano. Relación refleja, simétrica, asimétrica, transitiva. Funciones. Valor absoluto. Logaritmo. Raíz cuadrada



 1-. PRODUCTO CARTESIANO


El producto cartesiano de dos conjuntos A x B es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto A y un elemento del conjunto B.
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Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden y recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.

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ejemplo n° 1:

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ejemplo n° 2:
Si  A ={1,2} y B ={-1,O,1}  entonces A  x  B ={(1,-1), (1,0), (1,1), (2,-1), (2,0), (2,1)}. A tiene 2 elementos, B tiene 3, y A x B tiene 2 x 3 = 6

Ejemplo n° 3:
Si  A = B = R, entonces R al cuadrado es llamado el plano cartesiano. Las caricaturas y demás objetos bidimensionales viven en R al cuadrado : un círculo no es otra cosa que cierto subconjunto de R al cuadrado (dé un ejemplo). Nosotros, los seres tridimensionales, vivimos en R al cuadrado x R

2-. CONJUNTO CARTESIANO



Es la agrupación en un todo  de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.
Ejemplo n° 1:
Este ejemplo gráfico nos muestra la agrupación llamado Alumnos  de Colegio con sus  elementos que serían:  Luis, Antonio, Paula y Pánfilo
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3-. RELACION MATEMÁTICA


El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:
Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)
Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:
S —> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.
Ejemplos de relación
A = {1, 4, 6}
B = {2, 3, 7}
La relación que existe entre A y B es mayor que, por lo que:
ARB={ (6,2) (4,2) (6,3) (4,3)}

4-. TIPOS DE RELACION:


RELACION REFLEJA ( O REFLEXIVA )


R es una relación refleja en un conjunto  A  no vacío , si y sólo si cada elemento de
él está relacionado consigo mismo:

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Ejemplo:
A   =   { 1 , 2 , 3 }
R   =   { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

RELACION SIMETRICA
R es una relación simétrica en un conjunto  A  no vacío , si y sólo si cada par de
elementos de él satisface lo siguiente:

a R b   ==>   b R a

Ejemplo:
A   =   { 1 , 2 , 3 }
R   =   { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

RELACION ANTISIMETRICA


R es una relación antisimétrica en un conjunto  A  no vacío , si y sólo si cada par de
elementos de él satisface lo siguiente:

a R b     b R a   ==>   a  =  b

Ejemplo:
A   =   { 1 , 2 , 3 }
R   =   { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }

RELACION TRANSITIVA


R es una relación transitiva en un conjunto  A  no vacío , si y sólo si cada trío de
elementos de él satisface lo siguiente:

a R b     b R c   ==>   a R c

Ejemplo:
A   =   { 1 , 2 , 3 }
R   =   { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }

5-. CLASIFICACION DE RELACIONES



RELACION DE EQUIVALENCIA


R es una relación de equivalencia en un conjunto  A  no vacío , si y sólo si es
refleja, simétrica y transitiva en ese conjunto  A .

Ejemplo:
La relación  “igual que”  ( = )  en el conjunto de los números enteros.
Sean  a , b  y  c  números enteros cualesquiera, entonces:
a  =  a     ( Reflexividad )
a  =  b     ==>     b  =  a     ( Simetría )
a  =  b       b  =  c     ==>     a  =  c     ( Transitividad )

RELACION DE ORDEN


R es una relación de orden en un conjunto  A  no vacío , si y sólo si es refleja,
antisimétrica y transitiva en ese conjunto  A .

Ejemplo:
La relación  “menor o igual que”  (   )  en el conjunto de los números enteros.
Sean  a , b  y  c  números enteros cualesquiera, entonces:
a     a     ( Reflexividad )
a     b       b     a     ==>     a  =  b     ( Antisimetría )
a     b       b     c     ==>     a     c     ( Transitividad )

6-. FUNCION


Sean  A  y  B  conjuntos no vacíos,  f  es una función de  A  en  B , si y sólo si
f  es una relación de  A  a  B  que a cada elemento de  A  le hace corresponder un y
sólo un elemento de  B .

Ejemplo:
A   =   { a , e , i }
B   =   { 1 , 3 , 5 , 7 }
f   =   { ( a , 3 ) , ( e , 7 ) , ( i , 7 ) }
Además su dominio es:
Dom f   =   A
Su codominio es:
Codom f   =   B
Su recorrido ( o rango ) es:
Rec f   =   { 3 , 7 }
Este último es el conjunto de las imágenes de  A  bajo  f .

7-. FUNCION VALOR-ABSOLUTO



La funcion valor absoluto esta definida de la siguiente manera:
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Graficamente la función IxI es

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Si x es positivo no afecta la función en el número
Si x es negativo la función “lleva al numero” a su inverso aditivo
El valor absoluto de un número real nunca es negativo
Al valor absoluto de un número también se le denomina Módulo
Antes de resolver algunos ejercicios veamos algunas propiedades básicas del valor absoluto. Es claro que la definición de valor absoluto que 2996.gif

8-. FUNCION PARTE ENTERA



La función parte entera

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está definida por:
1. La función piso si es el menor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x. De esta forma, si x es un número entero, su parte entera es el mismo entero. Si x = 5/2 entonces su parte entera será 2.
2. La función techo si es el mayor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x.
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Siempre se tiene que

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y a la izquierda hay una igualdad si y sólo si x es entero.
Para todo entero k y para todo número real x se tiene:
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El redondeo usual del número x al entero más próximo se puede expresar como la parte entera de x + 0,5.
La derivada de la función parte entera no está definida en los números enteros, y en cualquier otro punto vale 0.

9-. FUNCION CUADRÁTICA



Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma
f(x)= ax2+bx+c

donde a,b y c son constantes y a # 0
La gráfica de una fución cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los númeos reales.
Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.

A continuación se muestran dos funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadràticas.

f(x)= x2 - 5x + 4    f(x)= - x2 - 5x + 4

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10-. FUNCION LOGARITMO



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La expresión lnx se lee “logaritmo natural de x”.

La siguiente figura ilustra la interpretación de lnx como un área, para el caso x > 1:
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Grafica de la función logaritmo natural:



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Para calcular el valor aproximado de y cuando x = 2, se puede aplicar la Regla de Simpson.

11-. FUNCION Ex   (no la encontré)



12-. FUNCION RAIZ CUADRADA


En matemáticas, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por ?x. Por ejemplo, ?16 = 4, ya que 4 × 4 = 16, y ?2 = 1,41421… . Las raíces cuadradas son importantes en la resolución de ecuaciones cuadráticas.
La generalización de la función raíz cuadrada a los números negativos da lugar a los números imaginarios y al campo de los números complejos.
El símbolo de la raíz cuadrada se empleó por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado con que tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minúscula, que representaría la palabra latina “radix”, que significa “raíz”.
Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números positivos x, y:
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La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; ?x es racional si y sólo si x es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es 12 = 1, entonces se trata de un número natural. Sin embargo, ?2 es irracional.
La función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.

13-. TIPOS DE FUNCIONES :



FUNCION INYECTIVA


Sea  f  una función de  A  en  B ,  f  es una función inyectiva , si y sólo si cada
elemento de  B  es imagen de a lo más un elemento de  A , bajo  f .

Ejemplo:
A   =   { a , e , i }
B   =   { 1 , 3 , 5 , 7 }
f   =   { ( a , 7 ) , ( e , 1 ) , ( i , 5 ) }

FUNCION EPIYECTIVA ( O SOBREYECTIVA )


Sea  f  una función de  A  en  B ,  f  es una función epiyectiva , si y sólo si cada
elemento de  B  es imagen de al menos un elemento de  A , bajo  f .

Ejemplo:
A   =   { a , e , i , o , u }
B   =   { 1 , 3 , 5 , 7 }
f   =   { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

FUNCION BIYECTIVA


Sea  f  una función de  A  en  B ,  f  es una función biyectiva , si y sólo si  f  es
epiyectiva e inyectiva a la vez .

Ejemplo:
A   =   { a , e , i , o , u }
B   =   { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
f   =   { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:
Si  f  es biyectiva , entonces su inversa  f - 1  es  también una función y además
biyectiva.

Autor:

Barbara Leiton





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