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Cálculo diferencial e integral. Función, funciones - Monografía



 
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Análisis matemático. Función, funciones. Límites. Derivada. Máximos y mínimos. Optimización. Integración. Integral definida. Área de curvas



 CALCULO  DIFERENCIAL  E  INTEGRAL



Función:  Es un conjunto de parejas ordenadas  ( x , y );  en donde todos los valores posibles de ” x ” se llama dominio de la función y todos los valores posibles de ” y ” se llama rango de la función.

Símbolo de función  y = f ( x )

Se lee:  ” y igual a f de x ”

” x “  es variable  independiente.

” y “  es variable  dependiente.

Ejemplo:

Y = f ( x ) = x 2 - 2 x

Encontrar  Dominio  de la función
Encontrar  Rango  de la función

x    -2     -1     0     1     2     3
y      8      3     0    -1    0     3

y = ( -2 ) 2 -2 ( -2 )  =  4 + 4  =  8
y = ( -1 ) 2 - 2 ( -1 ) = 3
y = ( 0 ) 2 - 2 ( 0 )  =  0 - 0  =  0
y = ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) = 1 - 2  =  -1
y = ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) = 0
y = ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 9 - 6 = 3

100533.gif 100534.gif

Operaciones con funciones



Dado  y = f ( x )  =  x 2  - 2 x - 3        encontrar:

a)    y = f ( -2 )  =  ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) -3  =  4 + 4 - 3  =  5
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c)    y = f ( 1 ) - f ( 2 )  =  [ ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) - 3 ] [ ( -2 ) 2 - 2 ( -2 ) - 3 ]  =  [1-2-3]

[ 4 + 4 - 3 ]  =  [ -4 ] [ 5 ]  =  20

d)    y = f ( x + h )  =  ( x + h  ) 2  -  2 ( x + h ) - 3  =  x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x -  2h -3

e)    y = f ( x + h )  =  f ( x )  =  x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 3 - ( x 2 - 2 x - 3 )

=  2 x h + h 2 - 2 h
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LIMITES



1)    Lim.  3 x 2 - 2 x  =  3 ( 3 ) 2 - 2 ( 3 )  =  2 ( 9 ) - 6 = 27 - 6  =  21
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LIMITES



1)    Lim.  3 x 2 - 2 x  =  3 ( 3 ) 2 - 2 ( 3 )  =  2 ( 9 ) - 6 = 27 - 6  =  21
indeterminación por  lo  tanto  se  factoriza
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100541.gif indeterminación

Multiplicar  por  su  conjugado.



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DERIVADA



La “derivada” es la pendiente tangente a una curva dada.
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Matemáticamente.

Símbolo de la derivada.
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Ejemplo:

Derivar  mediante de la definición
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FORMULAS  DE  DERIVADAS



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Ejemplos:

Derivar:

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MÁXIMOS Y MINIMOS



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Angulo  entre  dos  curvas.

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Ejemplo.

Hallar el ángulo entre las curvas.

x 2 - 6 x - y  =  -6

-2 x + y  =  - 7
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igualar

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Problemas  de  aplicación  de máximos  y mínimos.



Se pretende hacer una caja sin tapa de una lámina de aluminio de 10 cm. por lado   (cuadrado) se deberá de cortar de las esquinas.  ¿Cuánto se deberá de cortar en las esquinas para obtener un máximo volumen?
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v ( x )  =  ( 10 - 2 x ) ( 10 - 2 x ) x

v ( x )  =  ( 10 - 2 x ) 2 x  =  ( 100 - 40 x + 4 x 2 ) x  =  100 x - 40 x 2 + 4 x 3

v´( x )  =  100 - 80 x + 12 x 2         v ´´ ( x ) = - 80 + 24 x

v´´ ( 5 / 3 ) = - 80 + ( 24 ) ( 5 / 3 ) = - 40

3 x 2 - 26 x + 25  =  0

DERIVADA  DE  FUNCIONES  TRIGONOMETRICAS  Y  LOGARÍTMICAS



1)    y  =  sen v       y´ =  cos v v´

2)    y  =  cos v       y´ =  - sen v v´

3)    y  =  tan v       y´ =  sec 2 v v´

4)    y  =  csc v       y´ =  - csc v cot v v´

5)    y  =  sec v       y´ =  sec v tan v v

6)    y  =  cot v        y´ =  - csc 2 v v

1)    y  =  Ln v       y´ =  v´
v

2)    y  =  e v       y1  =  e v  * v 1
Ejemplos

Derivar

1)    y  =  f ( x )  =  cos x 2 - sen 3 x       y 1  =  - sen x 2 ( 2 x ) - cos 3 x ( 3 )

y 1  =  - 2 x sen x 2 - 3 cos 3 x

2)    y  =  f ( x )  =  tan 2 x 2 + sec 3 x

y1  =  f´( x ) =  sec 2 2 x 2 4 x + sec 3 x tan 3 x ( 3 )

y1  =  4 x sec 2 2 x 2 + 3 sec 3 c tan 3 x
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CALCULO  INTEGRAL



FORMULAS


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Ejemplos.

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Hallar el area bajo la curva de la función.
1.    y  =  f ( x )  =  x 2 - 3 x

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 Autor:

Dann Adventure





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