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Desarrollo histórico de las Matemáticas parte 1 - Monografía



 
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Signos matemáticos. Jerarquía numérica. Poliedros. Historia. Grecia. Euclides. Tolomeo. Fermat. Descartes. Euler. Cauchy. Gauss. Hilbert



Trabajo de Matematicas



Signos matemáticos.-



Figuras, señales y abreviaturas utilizados en matemáticas para denotar entidades, relaciones y operaciones.



Historia.-



El origen y la evolución de los símbolos matemáticos no se conocen bien. Para más información sobre el probable origen de los números del 1 al 9 véase Numeracion. El origen del cero es desconocido, aunque hay confirmación de su existencia antes del año 400 d.C. La extensión del sistema de lugares decimales a los que representan valores inferiores a la unidad se atribuye al matemático holandés Simon Stevin (conocido también como Simon de Brujas), que llamó a las décimas, centésimas y milésimas primas, secundas y tercias.
Para indicar los órdenes, utilizaba números en un círculo; por ejemplo, 4,628 se escribía 4 0 6 1 2 2 8 3. Antes de 1492 ya se empezó a utilizar un punto para separar la parte decimal de un número. Más tarde se usó también una raya vertical. En su Exempelbüchlein de 1530, el matemático alemán Christoff Rudolf resolvía un problema de interés compuesto haciendo uso de fracciones decimales. El astrónomo alemán Johannes Kepler empezó a utilizar la coma para separar los espacios decimales, y el matemático suizo Justus Byrgius utilizaba fracciones decimales de la forma 3,2.

A pesar de que los antiguos egipcios tenían símbolos para la adición y la igualdad, y los griegos, hindúes y árabes tenían símbolos para la igualdad y las incógnitas, en esos primeros tiempos las operaciones matemáticas solían ser bastante engorrosas debido a la falta de signos apropiados. Las expresiones de dichas operaciones tenían que ser escritas por completo o expresadas mediante abreviaturas de las palabras.

Más tarde, los griegos, los hindúes y el matemático alemán Jordanus Nemorarius empezaron a indicar la suma mediante yuxtaposición, mientras que los italianos la denotaban con las letras P o p atravesadas con una raya, pero estos símbolos no eran uniformes. Ciertos matemáticos utilizaban la p, otros la e, y el italiano Niccolò Tartaglia solía expresar esta operación como Æ. Los algebristas alemanes e ingleses introdujeron el signo +, al que denominaron signum additorum, aunque al principio sólo se utilizaba para indicar excedentes. El matemático griego Diofante utilizaba el signo ´ para indicar la sustracción. Los hindúes usaban un punto y los algebristas italianos la representaban con una M o m y con una raya atravesando la letra. Los algebristas alemanes e ingleses fueron los primeros en utilizar el signo actual, al que denominaron signum subtractorum. Los signos + y - fueron usados por primera vez en 1489 por el alemán Johann Widman.

El matemático inglés William Oughtred fue el primero en usar el signo × en vez de la palabra “veces”. El matemático alemán Gottfried Wihelm Leidniz utilizaba un punto para indicar la multiplicación y, en 1637, el francés Rene Descartes empezó a usar la yuxtaposición de los factores. En 1688 Leibniz utilizó el símbolo Ç para denotar la multiplicación y È para la división. Los hindúes colocaban el divisor debajo del dividendo. Leibniz usó la forma más conocida a:b. Descartes popularizó la notación an para la potenciación y el matemático inglés John Wallis definió los exponentes negativos y utilizó el símbolo (¥) para representar Infinito.

El signo de igualdad, =, lo creó el matemático inglés Robert Recorde. Otro matemático inglés, Thomas Harriot, fue el primero en utilizar los símbolos >  y  < , "mayor que" y "menor que". El matemático francés François Viète introdujo varios signos de agrupación. Los símbolos de diferenciación, dx, y de integración, ò, empleados en el cálculo, son originales de Leibniz, lo mismo que el símbolo ~ de semejanza, utilizado en geometría. El matemático suizo Leonhard Euler es el principal responsable de los símbolos Æ, f, F, usados en la teoría de funciones.

Jerarquía numérica.-



En el sistema decimal la base es el 10, es decir, que 10 unidades de un orden constituyen una unidad del orden inmediato superior, así como cada unidad se compone de diez unidades del orden inmediato inferior. El número 1 es la unidad de primer orden a la que se añaden una por una otras unidades hasta formar una decena o unidad de segundo orden.
Diez decenas o cien unidades forman una centena o unidad de tercer orden. La unidad de cuarto orden es el millar; la de quinto orden la decena de millar; la de sexto orden la centena de millar; la de séptimo orden el millón; la de decimotercer orden es el billón; la de decimonoveno orden es el trillón y así sucesivamente. La jerarquía de las órdenes subsecuentes es la siguiente: millón, billón, trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, nonillón, decillón, undecillón, duodecillón, tridecillón, cuatridecillón, quidecillón, sexdecillón, septidecillón, octodecillón, nonidecillón y vigillón.

En países, como Francia y Estados Unidos, cuyo sistema de numeración se basa en grupos de tres en lugar de grupos de seis, cada orden después del millón es mil veces el que lo precede. En el sistema que impera en Europa y América Latina, cada número es un millón de veces el anterior. Por ejemplo, un vigillón es un 1 seguido de 120 ceros en el sistema europeo y americano, pero es un 1 seguido de 63 ceros en el sistema estadounidense y francés. No obstante, en los últimos años se ha extendido poco a poco el uso del término billón, según el criterio estadounidense y francés, de modo que países como el Reino Unido, Italia y Portugal lo utilizan con frecuencia. En España se ha acuñado recientemente el término millardo para designar la cantidad mil millones.

En cuanto a los decimales, en Europa continental se escriben de la forma 1,23, en las islas Británicas 1·23 y en el continente americano 1.23. Utilizando la notación científica estándar, un número como 0,000000123 se puede escribir 1,23×10-7.

Poliedro.-



En geometria, cuerpo sólido limitado por superficies planas que a su vez están limitadas por lados rectos. En otras palabras, un poliedro es un sólido limitado por poligonos. Cada una de las superficies planas se denomina cara.
Un lado recto que limita una cara se llama arista. Un punto en el extremo de una arista se llama vértice. La figura 1 muestra una pirámide de base cuadrada con cuatro caras triangulares como ejemplo de un poliedro.

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En un poliedro regular todas las caras son polígonos regulares y congruentes (iguales en tamaño y forma) entre sí. Los únicos poliedros regulares son los cinco que aparecen en la figura 2: el tetraedro, con cuatro caras triangulares; el cubo, con seis caras cuadradas; el octaedro, con ocho caras triangulares; el dodecaedro, cuyas doce caras son pentágonos regulares y el icosaedro, con veinte caras triangulares. A veces se les denomina cuerpos geométricos platónicos, pues aparecen en los escritos del filósofo griego Platon, representando al fuego, aire, tierra, agua y al universo completo.

Un poliedro convexo es aquel en el que un segmento rectilíneo que une dos vértices cualesquiera del poliedro contiene sólo puntos que pertenecen a una cara o al interior del poliedro. En los poliedros convexos existe una relación entre el número de vértices v, caras c y aristas a dada por v + c - a = 2. Por ejemplo, el cubo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas, lo que da 8 + 6 - 12 = 2. El valor de v + c - a para un poliedro cualquiera se denomina número de Euler de la superficie del poliedro, que toma el nombre del matemático suizo Leonhard Euler . Se puede calcular para un poliedro genérico utilizando los métodos de la topologia, una rama de las matemáticas.

Matemáticas.-



Estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometria), a los números (como en la aritmetica), o a la generalización de ambos (como en el algebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar, como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica -ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numericos en los que las bases son los números 5 y 10.


Las matemáticas en la antigüedad.-



Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100, …), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas, … de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B, para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, E era la suma de las fracciones 3 y  < . Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14), aunque su valor (3,16) es un poco mayor que la antedicha constante.

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10.
Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo anterior podía también representar: 2 × 60 + 27 + 10 × (†), o 2 + 27 × (†) + 10 × (†)-2 Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto.
Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de ¸.


Las matemáticas en Grecia.-



Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de milenio y Pitagoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría numérica y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Democrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipocrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático anónimo descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3, …), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, ¸, es lo que hoy se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, cuya solución se puede encontrar en los Elementos de geometría de Euclites. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandria, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría numérica, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquimides de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés Rene descartes en el siglo XVII.

Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complicados. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el Analisis diofantico.

Las matemáticas aplicadas en Grecia.-



En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. Unos años después de Apolonio, los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas -las de Hiparco, hacia el 150 a.C.- los arcos crecían con un incremento de 71°, de 0° a 180°.
En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de 1°, que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema - que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría- para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería usado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler.





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