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Evolución las Matemáticas parte 1 - Monografía



 
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Matemática moderna. Descubrimientos matemáticos. Mujeres de ciencia



1.- INTRODUCCIÓN



1.1.- SITUACIÓN DEL SIGLO XVII


El cálculo infinitesimal fue creado para resolver los principales problemas científicos del siglo XVII, como, por ejemplo, obtener longitudes de curvas, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, tangentes a una curva y máximos y mínimos de funciones.
Muchos de los grandes matemáticos del siglo XVII trabajaron estos problemas obteniendo importantes resultados. Podemos citar, por ejemplo a Cavalieri, Torriceli, Fermat, Wallis y Barrow.
Sin embargo, faltaba una teoría global donde se incluyeran estos problemas, y otros muchos, aparentemente independientes. Los artífices de esta descomunal teoría fueron, al unísono, Isaac Newton y Gottried Wilhelm Leibnitz. Newton publicó en 1687 una magna obra titulada Los principios matemáticos de la filosofía natural, que constituye uno de los hitos más grandes de la historia de la ciencia.
Destacamos también su obra Método de fluxiones, que contenía su Cálculo Infinitesimal, escrita dieciséis años antes de publicarse la anterior.
En 1678, Leibnitz publica sus descubrimientos sobre el cálculo en una revista que él mismo había fundado, Acta Eruditorum. Pero es el Acta de 1684 la que contiene lo que actualmente se considera el primer tratado de cálculo diferencial. Inmediatamente se entabló una agria disputa entre los seguidores de Newton y los de Leibnitz respecto a quién había sido el primer descubridor del cálculo.
Actualmente, está claro que la primicia de la publicación le corresponde a Leibnitz; y, a Newton, la autoría del descubrimiento. El cálculo de Newton es mucho más profundo que el de Leibnitz; mientras que loas notaciones utilizadas por Leibnitz, son más claras que las de Newton.

1.2.-SITUACIÓN EN EL SIGLO XVIII 



Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva. Joseph Louis Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‘el Newton francés’.
El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.


1.3.- LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XIX 



En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle -estudiado por primera vez en el siglo XVIII- fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.
De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.
También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras paradojas -es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es). Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del sistema.

1.4.- LAS MATEMÁTICAS ACTUALES 



En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los “problemas de Hilbert” ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.
A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

2.- SIGLO XVIII



2.1.- JOHN WALLIS



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John Wallis nació en 1616 en Ashford y murió en 1703 en Oxford. Este inglés fue uno de los matemáticos más influyentes hasta la llegada de Newton.
Wallis cursó sus estudios elementales en la escuela de Ashford, en la que, ya a muy temprana edad, destacó como un alumno especialmente aventajado. A los 14 años había alcanzado el grado de proficiente en latín, griego y hebreo. De aquí pasó directamente a la Emmanual College Cambridge, en donde empezó a interesarse por las matemáticas y también estudió filosofia. Wallis formó parte de un grupo de intelectuales que se reunían periódicamente en Londres para tratar temas sobre ciencias experimentales que, con el tiempo, acabaría por convertirse en la famosa Royal Society, de la que Wallis consta como miembro fundador.
Su mérito más trascendental reside en haber establecido claramente la noción de límite en la forma rigurosa hoy vigente. Gran parte de la obra de Wallis en cálculo precedió a Newton y Leibniz, sobre quienes ejerció una notable influencia.
Entre sus obras más importantes destacan la Arithmetica infinitorum (1656), y el Tratado de secciones Cónicas (1656).
La primera lo llevó a la fama. A lo largo de sus páginas abordaba cuestiones tales como las series, la teoría de los números, las cónicas, los infinitos… En la resolución de este tipo de integrales descubrió métodos de cálculo que más tarde serían utilizados por Newton en su teorema del binomio. A Wallis se atribuye la introducción del símbolo ?, utilizado habitualmente para denotar el infinito.
En cuanto a las secciones cónicas, Wallis las plantea con independencia de la figura tridimensional que las genera y, haciendo una importante aritmetización de la geometría, las considera de forma “absoluta”, por medio de ecuaciones que se aproximan mucho a la idea actual que tenemos de estas curvas como lugares geométricos del plano sujetos a ciertas condiciones.
A mediados del siglo XVII el matemático inglés, John Wallis dio interpretaciones claves a estos nuevos números: carácter vectorial a los números con signo y diferenciación entre números reales como números sobre una recta y números complejos como números en un plano.

Citas:



- “Puesto que la naturaleza no admite más de tres dimensiones […], parecería muy impropio hablar de sólidos […] de cuatro, cinco, seis o más dimensiones.” Álgebra, 1685.
- “Los números complejos no son más absurdos que los números negativos, y si éstos se pueden representar en una línea recta entonces es posible representar los números complejos en un plano”

2.2.- ISAAC NEWTON



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Isaac Newton fue un matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal.
Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de 1643, según el calendario vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra). Falleció en 1727. Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar y lo dejó al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a una escuela primaria en Grantham. En el verano de 1661 ingresó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de bachiller.
Recibió el título de profesor en 1668. Durante esa época se dedicó al estudio e investigación de los últimos avances en matemáticas y a la filosofía natural, que consideraba la naturaleza como un organismo de mecánica compleja. Casi inmediatamente realizó descubrimientos fundamentales que le fueron de gran utilidad en su carrera científica.

El método de las fluxiones.



Newton obtuvo en el campo de las matemáticas sus mayores logros. Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.
Aunque Newton fue su inventor, no introdujo el cálculo en las matemáticas europeas. En 1675 Leibniz llegó de forma independiente al mismo método, al que llamó cálculo diferencial; su publicación hizo que Leibniz recibiera en exclusividad los elogios por el desarrollo de ese método, hasta 1704, año en que Newton publicó una exposición detallada del método de fluxiones, superando sus reticencias a divulgar sus investigaciones y descubrimientos por temor a ser criticado. Sin embargo, sus conocimientos trascendieron de manera que en 1669 obtuvo la cátedra Lucasiana de matemáticas en la Universidad de Cambridge.

Los principios.


En agosto de 1684 la soledad de Newton se vio interrumpida por la visita de Edmund Halley, un astrónomo y matemático con el que discutió el problema del movimiento orbital. Newton había estudiado la ciencia de la mecánica como estudiante universitario y en esa época ya tenía ciertas nociones básicas sobre la gravitación universal. Como resultado de la visita de Halley, volvió a interesarse por estos temas.
Durante los dos años y medio siguientes, Newton estableció la ciencia moderna de la dinámica formulando las tres leyes del movimiento. Aplicó estas leyes a las leyes de Kepler sobre movimiento orbital -formuladas por el astrónomo alemán Johannes Kepler- y dedujo la ley de la gravitación universal. Probablemente, Newton es conocido sobre todo por su descubrimiento de la gravitación universal, que muestra cómo a todos los cuerpos en el espacio y en la Tierra les afecta la fuerza llamada gravedad. Publicó su teoría en Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), obra que marcó un punto de inflexión en la historia de la ciencia, y con la que perdió el temor a publicar sus teorías.
Además de su interés por la ciencia, Newton también se sintió atraído por el estudio de la alquimia, el misticismo y la teología. Muchas páginas de sus notas y escritos -especialmente en los últimos años de su carrera- están dedicadas a estos temas. Sin embargo, los historiadores han encontrado poca relación entre estas inquietudes y sus trabajos científicos.

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2.3.- GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ



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Nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig, Sajonia (hoy Alemania) y murió el 14 de noviembre de 1716 en Hannover (hoy Alemania).
Empezó sus estudios a la edad de 7 años, destacaba en Latín y Griego. En esta época comenzó a interesarse por la filosofía, estudió los libros de su padre y leyó libros de metafísica y teología de autores católicos y protestantes.
En 1661, con 14 años, entró en la Universidad de Leipzig. Estudió filosofía y matemáticas. Finalizó sus estudios en 1663, con la tesis De principio Individui.
Durante un año estudió en Jena matemáticas, historia y jurisprudencia. En 1666 publicó su De arte combinatoria, intento de construcción de una característica universal. En este año conoció a Erhard Weigel, un matemático y filosofo, que le hizo ver la importancia del método matemático. Leibniz se doctoró en leyes en la Universidad de Altdorf en Febrero de 1667.
Siendo Consejero del Tribunal supremo del elector de Maguncia, publicó Confessio naturae contra atheistas (1668). En 1672 fue enviado por el elector de Maguncia a París, donde conoció a Arnauld y a Huygens, quien le inició en la matemática moderna. Poseedor de una cultura enciclopédica, se interesó por la matemática, la física y la ingeniería. Llevó a cabo interesantes trabajos relativos al desarrollo del cálculo infinitesimal, e inventó una calculadora mecánica en 1676.
Los últimos años de su vida, estuvo ocupado por la disputa con Newton sobre quien había descubierto primero el Cálculo infinitesimal.
Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.
La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar en 1675 los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente (véase Signos matemáticos). En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.

2.4.- FAMILIA BERNOULLI



Es una familia de matemáticos procedentes de Amberes que a fines del siglo XVI fijaron su residencia en Suiza. Contribuyeron eficazmente a la difusión del cálculo diferencial y su influencia perduró hasta concluido el siglo XVIII.
Pertenecientes a esta familia figuran más de una decena de matemáticos a lo largo de tres generaciones y durante los siglos XVII y XVIII. Entre todos ellos obtuvieron grandes méritos y nos dejaron importantes enunciados matemáticos como la “serie de Bernoulli”, los “números y polinomios de Bernoulli” que tienen ciertas aplicaciones en teoría de números. Hay también dos “teoremas de Bernoulli”, uno en el cálculo integral y otro en la hidráulica. Asimismo reciben el nombre de “procesos Bernoulli” ciertos fenómenos probabilísticos. Además de generar este gran número de matemáticos también hay dos pintores, un médico, un naturalista y un arqueólogo con el mismo apellido Bernoulli.

Entre los matemáticos, tres fueron excepcionales: Jacobo (1654-1705); su hermano Juan (1667-1748) y Daniel (1700-1782), hijo de este último.

- Jacobo:

Su obra matemática se repartió entre los nuevos métodos infinitesimales y el cálculo de probabilidades. Dentro del primer campo se ocupó de series y de las propiedades de numerosas curvas. Entre los casos particulares que examina especialmente, figura la espiral logarítmica, descubriendo que se reproduce en otras curvas derivadas de ella, lo que le lleva a imitar el gesto de Arquímedes, pidiendo que en su tumba se grabase dicha curva con la leyenda Eadem mutata resurgo.
Se le debe la primera resolución, con demostración, del problema propuesto por Leibniz de la curva isócrona, tal que un punto material obligado a deslizarse sobre ella cae con movimiento uniforme respecto de la vertical; el de la curva de tiempo mínimo o braquistócrona, descrita por un punto material para trasladarse de un punto a otro más bajo en tiempo mínimo bajo el influjo de la gravedad; el de las trayectorias ortogonales, es decir, familia de curvas que cortan a las curvas de otra familia bajo ángulo recto; y el problema de los isoperímetros o curvas de igual longitud que cumplen ciertas propiedades de máximo o mínimo.
Muchos de estos problemas dieron origen más tarde a una nueva disciplina matemática, denominada hoy cálculo de variaciones. En su obra Ars conjectandi, aparecida en 1713, el cálculo de probabilidades adquiere autonomía científica. Se compone esta obra de cuatro partes en las que da a conocer los números que designamos hoy por su nombre y la “ley de los grandes números”. En 1717 se publicó “El arte de pronosticar”, obra póstuma en la que introdujo los conceptos de posibilidad, probabilidad y certeza.

- Juan:

hermano y discípulo de Jaques, estudió, además de matemáticas, medicina y filología, y realizó también interesantes trabajos de astronomía y física. Desarrolló el cálculo diferencial y se le considera el fundador del cálculo exponencial.

- Daniel:

estudió matemáticas, física, medicina y fisiología. Fue profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en 1725. Posteriormente dio clases de filosofía experimental, anatomía y botánica en las universidades de Groningen y Basilea, en Suiza. Sentó las bases de la mecánica sobre el principio de conservación de la energía.
Realizó trabajos sobre la mecánica de los fluidos y es de especial importancia su Tratado de hidrodinámica (1738). Desarrolló una extensa obra matemática.

2.5.- L’HÔPITAL



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L’Hôpital nació en 1661 en París (Francia) donde también falleció el 2 de febrero de 1704. Era un competente matemático, su fama está basada en su libro “Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes” (1692).
L’Hôpital aprendió cálculo de su maestro Johann Bernoulli en 1691. L’ Hôpital escribió el primer libro de cálculo en el año 1696, el cuál estuvo influenciado por las lecturas que realizaba de sus profesores, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz. En este libro creó la regla que ahora se conoce como Regla de L’Hôpital, para encontrar el límite de una función racional cuyo numerador y denominador tienden a cero.
Las reglas de L’Hôpital vienen a aplicarse en la resolución de límites en los casos de indeterminaciones habituales (0 / 0  ó  ? / ?, por ejemplo), siempre que sepamos calcular el límite de los cocientes de las derivadas (cuando la función podemos expresarla como cociente de funciones).

2.6.- ABRAHAM DE MOIVRE


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Nació en Vitry-le-François (Champagne - Francia) en 1667. Moivre fue encarcelado durante un año en París, y tras concluir su encierro emigró a Londres con su familia y en este ciudad fue donde falleció en 1754.
Su amistad con Newton y Halley supuso un fuerte apoyo en su candidatura para ingresar en la Royal Society (1697). Nunca llegó a ocupar un puesto en una universidad, muriendo ciego, sin ilusiones y sin que sus trabajos llegaran a ser reconocidos por la comunidad científica.
Se le considera, junto al astrónomo y matemático Pierre Simon de Laplace, uno de los dos grandes pensadores de la teoría de la probabilidad en el siglo XVIII. Precisó los principios de cálculo de probabilidades y desarrolló numerosos problemas prácticos.
Su obra La doctrina de las suertes (1718) es una auténtica obra maestra. En ella expone la probabilidad binominal o distribución gaussiana, el concepto de independencia estadística y el uso de técnicas analíticas en el estudio de la probabilidad. Al derivar una expansión para n!, De Moivre sumó los términos de la forma binominal. Su teorema más importante aparece en Miscellanea Analytica (1730), obra en la que investiga las series infinitas y los números complejos.
Enunció la ley de probabilidades compuesta e inició el empleo de las ecuaciones de diferencias finitas, que posteriormente debía generalizarse.
Estableció muchos de los elementos de los cálculos actuales y, por encima de sus muchos logros, descubrió la relación trigonométrica (1730):
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2.7.- BROOK TAYLOR



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Taylor nació el 18 de agosto de 1685 en Edmonton (Inglaterra) y murió el 29 de diciembre de 1731 en Londres (Inglaterra).
Taylor fue educado con tutores privados hasta que entró, en 1703, en St. John’s College de Cambridge, en donde se convirtió en un admirador de la obra de Newton..
Se graduó en 1709, pero ya en 1708 había escrito su primera obra importante, aunque no se publicó hasta 1714 en una revista de la Royal Society: dio solución al problema del centro de oscilación, la cual desde que fuera difundida hasta 1724, resultaba ser la disputa prioritaria con Johann Bernoulli.
Taylor participó, en este año, en el comité que se constituyó para zanjar la disputa sobre quién había sido el fundador del Cálculo, Newton o Leibniz.
En 1715 publicó Methodus incrementorum directa et inversa, su obra más importante, y Perspectiva Lineal, dos libros importantes en la historia de las matemáticas. En el primero agregaba a las matemáticas una nueva rama llamada ahora “El cálculo de las diferencias finitas”, e inventó la integración por partes y descubrió la célebre fórmula conocida como la Serie de Taylor, la importancia de esta fórmula no fue reconocida hasta 1772, cuando Lagrange proclamó los principios básicos del Cálculo Diferencial. En dicha obra aborda la determinación de las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales, el problema del cambio de variable, la determinación de los centros de oscilación, de percusión y de curvatura, y el problema de la cuerda vibrante.
Taylor da cuenta de un experimento para descubrir las leyes de la atracción magnética (1715) y un método no probado para aproximar las raíces de una ecuación dando un método nuevo para logaritmos computacionales (1717).

2.8.- GABRIEL CRAMER


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Gabriel Cramer nació el 31 de julio de 1704 en Ginebra (Suiza) y falleció el 4 de enero de 1752 en Bagnols-sur-Cède (Francia). Fue un conocido matemático que centró su trabajo en el análisis y los determinantes. Llegó a ser profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el período 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en la citada universidad. En 1731 presentó en la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental es la Introduction à l’analyse des courbes algébriques (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algébricas según los principios newtonianos.
Escribió un trabajo donde relataba la física, también en geometría y la historia de las matemáticas. Cramer es más conocido por su trabajo en determinantes (1750) pero también hizo contribuciones en el estudio de las curvas algebraicas (1750).

2.9.- LEONHARD EULER


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Matemático suizo nacido en 1707 en Basilea; murió 1783 en San Petersburgo. Estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755),  Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
De entre las innumerables contribuciones de Euler podemos citar la trigonometría en su versión moderna (tal como se enseña actualmente en las escuelas), el concepto preciso de logaritmo y la elucidación de lo que son los números imaginarios.

Logaritmos



Los logaritmos fueron inventados por Napier y Briggs a principios del siglo XVII y, en su época, fueron una gran ayuda para realizar operaciones aritméticas. Sin embargo, Euler fue quien los interpretó como lo que en matemáticas se llaman “funciones”, es decir, reglas para asociar un número a otro número.
Vistos así, los logaritmos y los exponentes, que son sus “funciones inversas”, resultaron tener un campo de acción mucho más amplio que el de simples herramientas de cómputo.
Euler descubrió la gran utilidad de las funciones logaritmo y exponente para el análisis matemático; en particular, mostró que los logaritmos podían tener cualquier base, no sólo el 10, y encontró la base más natural para ellos: el número “e”.

Imaginarios



En el álgebra, Euler mostró que es perfectamente posible trabajar con lo que, hasta la fecha, se conocen como “números imaginarios”.
Las síntesis de Euler fueron numerosísimas. Por ejemplo, en una de tantas fórmulas que descubrió, se unen, por una parte, una suma que involucra a todos los números enteros -números tan comunes- y, por otra parte, un producto que involucra todos los números primos, esos números tan fáciles de definir y tan endiabladamente difíciles de manejar. Euler fue el maestro de las síntesis matemáticas.
El primer logro científico importante de Euler lo constituyó la introducción (1736) del método analítico en la exposición de la mecánica newtoniana con el fin de reducir al mínimo la tradicional confianza en la demostración por métodos geométricos. De la mecánica, Euler trasladó estos planteamientos al cálculo infinitesimal, y en 1748 publicó la primera obra de análisis matemático en la que el papel principal estaba reservado a las funciones en lugar de a las curvas. La geometría fue, con todo, un campo en el que Euler realizó las contribuciones mayores, siendo uno de sus resultados más conocidos la fórmula que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro regular, en el que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos (C + V = A + 2). Sus obras completas, que abarcan más de ochocientos tratados, ocupan 87 volúmenes.

Teorema de Euler



Teorema que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios) cualquiera.
Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número de caras, C, más el número de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir:

C + V = A + 2


3.- SIGLO XIX



3.1.-  JOSEPH LOUIS DE LAGRANGE



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Joseph Louis de Lagrange, matemático, físico y astrónomo nacido en Italia de familia francesa, estableció las bases matemáticas en su Mecánica Analítica (1788) para el desarrollo de la mecánica celeste de Laplace.
Lagrange es considerado uno de los dos matemáticos más importantes del siglo XVIII, siendo el otro Leonardo Euler. Nació en Turín en 1736.
A los diecinueve años de edad, obtuvo fama resolviendo el así llamado problema isoperimétrico, que había desconcertado al mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su demostración en una carta a Euler, el cual se interesó enormemente por la solución, de modo especial en cuanto concordaba con un resultado que él mismo había hallado. Euler con admirable tacto y amabilidad respondió a Lagrange, ocultando deliberadamente su propia obra, de manera que todo el honor recayera sobre su joven amigo.
La publicación de su obra maestra Mécanique Analytique originó gran interés, que aumentó considerablemente, en 1787. Los matemáticos acudieron en tropel a recibirle y a rendirle todos los honores, pero se desanimaron al encontrar perturbado, melancólico e indiferente al ambiente circundante.

En años posteriores, su habilidad matemática volvió nuevamente, y produjo muchas joyas de álgebra y análisis.
Una consecuencia de la Revolución fue la adopción del sistema métrico, en el cual la subdivisión de las monedas, pesos y medidas, se halla estrictamente basada en el número diez. Cuando hacía objeciones a este número, prefiriendo naturalmente el doce, por que tiene más factores, Lagrange señaló, inesperadamente, que era una pena que no se hubiera escogido el número once como base, porque es primo.
Llevó a cabo trabajos sobre la teoría de números y la teoría de ecuaciones, en los que planteó la resolución de las ecuaciones diferenciales de derivadas parciales. Sus principales aportaciones a la física las realizó en el campo de la mecánica racional: estudió el problema de los tres cuerpos, introdujo el principio de las velocidades virtuales y estableció un sistema de ecuaciones del movimiento. Entre sus obras cabe citar Miscellanea Taurinensia, Mecánica analítica (1788) y Teoría de las funciones analíticas, que conjuntamente sirvieron para unificar los fundamentos de la mecánica.
Murió en 1813, a los setenta y seis años de edad.


3.2.- PIERRE SIMON DE LAPLACE



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Nació en Beaumont-en-Auge en 1749 y murió en París en 1827.
Laplace probó la estabilidad del sistema solar. En análisis Laplace introdujo la función potencial y los coeficientes de Laplace. Dio especial importancia a la teoría de la probabilidad.

Hipótesis Nebular.


Laplace presentó su famosa hipótesis nebular en “Exposition du systeme du monde” en 1797, que formulaba que el sistema solar se creó de la contracción y enfriamiento de una gran nube aplastada de gas incandescente que giraba lentamente.

La Teoría de la Probabilidad.



Laplace también trabajó en la Teoría de la Probabilidad, y en particular dedujo el método de los mínimos cuadrados. Su “Théorie Analitique des Probabilités” se publicó en 1812.
A él le corresponde, además, el mérito de haber descubierto y demostrado el papel desempeñado por la distribución normal en la teoría matemática de la probabilidad. Sus aportaciones en este campo pueden cifrarse en dos: por un lado la creación de un método para lograr aproximaciones de una integral normal; por otro su descubrimiento y demostración de lo que ahora se llama el teorema central del límite.

Aportaciones en Análisis Matemático.



Asimismo, estudió las ecuaciones diferenciales y la geodesia. Así, es muy conocida la famosa ecuación diferencial de Laplace. Una ecuación del tipo Nabla cuadrado de f = 0 siendo Nabla cuadrado un operador laplaciano. Llamamos Laplaciana, u operador de Laplace, a un operador para un campo escalar que se simboliza como Nabla cuadrado, definido en coordenadas cartesianas rectangulares. Está definido siempre que existan todas las derivadas parciales del segundo miembro.
Conocemos la Transformada de Laplace, como una transformación que asocia a cada función real una función compleja, designada generalmente por L(f). Esta transformada tiene aplicaciones muy interesantes, como la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales, y el estudio de problemas con condiciones de contorno. Se utiliza frecuentemente en análisis de circuitos eléctricos y en servosistemas.
En colaboración con Antoine Lavoisier dirigió experimentos sobre la acción capilar y sobre el calor específico. Estableció la relación que expresa la presión capilar ejercida sobre una superficie líquida curvada. Este resultado se conoce en física como la Ley de Laplace. Realizó junto a Lavoisier las primeras medidas calorimétricas relativas a los calores específicos y a las reacciones químicas. Estableció la fórmula de las transformaciones adibáticas de un gas, y la utilizó en la expresión de la velocidad de propagación del sonido.

Aportaciones al Álgebra.



Laplace publicó varios artículos sobre matrices y determinantes. En 1772 dijo que los métodos introducidos por Cramer y Bezout eran inservibles, y en un artículo en el que estudió las órbitas de los planetas planteó la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin calcularla realmente, usando determinantes. Sorprendentemente, Laplace usó la palabra “resultante”, para lo que hoy llamamos determinante. Es curioso, ya que es la misma palabra que usó Leibniz, aunque Laplace seguramente no conocía su obra. Laplace obtuvo el desarrollo de un determinante que ahora lleva su nombre.

Regla de Laplace.



Fórmula que permite calcular la probabilidad de sucesos en experiencias ideales. Debe su nombre al matemático francés Pierre Laplace, quien la enunció en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812).
Se aplica en experiencias en las que todos los elementos del espacio muestral son equiprobables (tienen la misma probabilidad). Según esta regla, la probabilidad de un suceso cualquiera S se calcula:
P [S] = número de casos favorables a S / número de casos posibles

3.3.- PAOLO RUFFINI


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Nació el 22 de septiembre de 1765 en Valentano, Estados Papales (hoy Italia) y murió el 10 de mayo de 1822 en Módena, (Italia, en la actualidad). Fue matemático y médico.
Estudió matemáticas, medicina, filosofía y literatura. En 1788 Ruffini se graduó en filosofía, medicina y cirugía, y poco más tarde obtuvo su graduación en matemáticas.

Sus estudios de matemáticas le valieron pronto para tener muy buena reputación en el campo matemático y en 1787 accedió al puesto de profesor en la Universidad de Módena (ocupando la plaza vacante de su profesor Cassiani), donde había estudiado. Fue nombrado rector de la Universidad en 1814, y catedrático de clínica médica, medicina práctica y matemáticas aplicadas.
Paolo Ruffini ha sido conocido a lo largo de los años, dentro del mundo matemático, como el descubridor de la regla de Ruffini que hace que se permita encontrar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio (x-a). Pero esto no ha sido lo único con lo que Ruffini ha colaborado en el mundo de las matemáticas, elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grado quinto y superiores, aunque no fue del todo exacta su teoría, que sería corregida posteriormente por Niels Henrik Abel, matemático noruego. Sabemos que Ruffini tuvo discusiones con otros matemáticos de la época como Lagrange, al cual enviaba sus resultados. El famoso teorema sobre la imposibilidad de encontrar una fórmula para resolver las ecuaciones de quinto grado fue enunciado por primera vez Ruffini en el libro Teoria generale delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798. La demostración de Ruffini fue, sin embargo, incompleta.
Entre las obras que escribió P. Ruffini destacan Teoría generale delle equazione generale in cui si dimostra imposibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto grado (1798), Algebra e suo apendice (1807), Rifflesioni intorno alla soluzione delle equazioni algebraiche generali (1813) y Riflessioni critiche sopra il sagio filosofico intorno alla probabilità del Signore de Laplace (1821).

Desde 1791 a 1798 Ruffini ocupó una cátedra de matemáticas. Ruffini siguió dedicándose a practicar la medicina y a la investigación matemática, concretamente a demostrar que la ecuación algebraica de grado 5º no se puede resolver por radicales.
Esta demostración fue ignorada por los matemáticos de su época, durante más de 20 años. Fue en 1821 cuando otro matemático, Cauchy, le escribe una carta alabando su descubrimiento
Desde 1814 Ruffini fue rector de la universidad de Módena, a la vez que trata a sus pacientes de una epidemia de tifus. Él mismo contrae la enfermedad, de la que muere unos años más tarde.
En la actualidad, conocemos a este matemático no por el resultado anteriormente citado, sino por la conocida Regla de Ruffini.


3.4.- JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER



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Jean Baptiste Joseph Fourier nació el 21 de Marzo de 1768 en Auxerre, Bourgogne, Francia y falleció el 16 de Mayo de 1830 en París, Francia.
Fourier estudió  matemáticas  y más tarde enseñaba matemática en la Escuela Normal. En 1801 a su regreso de Egipto, empezó a ocuparse de lleno de la ciencia. El problema que más le interesaba era el del modo en que el calor fluía de un punto a otro a través de un objeto en particular. Publicó “La teoría analítica del calor” en 1822 seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. En esto introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier.
Fourier recopiló todo su ingenio matemático y descubrió lo que hoy se conoce como teorema de Fourier. Según este, cualquier oscilación periódica, por complicada que sea, se puede descomponer en serie de movimientos ondulatorios simples y regulares, la suma de los cuales es la variación periódica compleja original. Es decir se puede expresar como una serie matemática en la cual los términos son funciones trigonométricas. El teorema de Fourier tiene muchas aplicaciones; puede ser utilizado en el estudio del sonido y de la luz y desde luego en cualquier fenómeno ondulatorio. El estudio matemático de tales fenómenos, basado en el teorema de Fourier se llama análisis armónico.

3.5.- SOPHIE GERMAIN.


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Nacida en París, el 1 de abril de 1876 y criada durante los años de turbulencia en Francia. Sus padres se opusieron a que estudiara matemáticas hasta que no tuvieron opción y lo aceptaron.
Germain no podía ir a la escuela porque no aceptaban mujeres; pero se las arreglaba para recibir apuntes de los profesores. A ella le atrajo el análisis de Lagrange y bajo un nombre ficticio le escribió una composición. A éste le impresionó tanto, que averiguó quien era y fue a su casa a decirle cuán impresionado estaba. Esto le sirvió a Germain para tener el coraje de seguir estudiando matemáticas. Como resultado de un libro escrito por Gauss, Germain le escribió usando el mismo pseudónimo que había usado con Lagrange. Gauss se interesó tanto en sus observaciones, que mantuvieron correspondencia por varios años. En 1807, Gauss se enteró del verdadero nombre de Germain. Ella temía que a Gauss le sucediera algo y envió unas tropas a la casa de él para asegurarse de que estuviera bien. Cuando los soldados le hablaron de Germain, él les dijo que no la conocía. Luego, por cartas se esclareció la situación.
Germain trabajó en el problema de la ley matemática de vibraciones de superficies elásticas. En 1811 sometió un trabajo al respecto a la Academia Francesa de las Ciencias (anónimamente); pero fue criticada por la falta de precisión al pasar de una línea a una superficie. En 1813 sometió otro trabajo del mismo tema y en 1816 ganó el primer lugar situándola entre los mejores matemáticos. Esto hizo que la aceptaran entre los círculos de matemáticos. Continuó escribiendo sobre distintos problemas matemáticos y continuó intercambiando correspondencia con Gauss. Este pidió a la Universidad de Göttingen que le dieran el grado de doctora; pero el 26 de junio de 1831 murió, antes de poder recibir el grado.

3.6.- CARL FRIEDRICH GAUSS


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Carl Friedrich Gauss, matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo. Nació en Braunschweig el 30 de abril de 1777, hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales de ser un genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de que cumpliera los siete años.

Cuando Gauss tenía diez años de edad, su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas. Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los clásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filología la obra de su vida, comenzó sus estudios de lenguas antiguas, pero a los 17 años comenzó a interesarse por las matemáticas e intentó dar una solución al problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. No solamente consiguió probar que esto era imposible, sino que siguió aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados. Durante estos estudios, probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. A raíz de este descubrimiento abandonó sus estudios de lenguas y se dedicó a las matemáticas. Estudió en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra (véase Álgebra; Teoría de ecuaciones). Su tratado sobre la teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de las matemáticas.

Gauss se graduó en Gotinga en 1798, y al año siguiente recibió su doctorado en la Universidad de Helmstedt. Las matemáticas no fueron el único tema que le interesó a este hombre; fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas, e inclusive dominó el ruso a la edad de sesenta años. A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido de su teoría de números, comprendiendo las complicadas ecuaciones que confirmaban su teoría y una exposición de una convergencia de una serie infinita.
Gauss también dirigió su atención hacia la astronomía. El asteroide Ceres había sido descubierto en 1801, y puesto que los astrónomos pensaban que era un planeta, lo observaron con mucho interés hasta que lo perdieron de vista. Desde sus primeras observaciones, Gauss calculó su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También planeó un nuevo método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En 1807 fue nombrado profesor de matemáticas y director del observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su muerte.
Gauss desarrolló, en la teoría de números, el importante teorema de los números primos. Gauss fue el primero en desarrollar una geometría no euclídea, pero no publicó estos importantes descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss que es una ley de probabilidad según la cual cuando sobre una magnitud actúan una serie de pequeñas variaciones independientes entre sí, los resultados se disponen alrededor de la media y se distribuyen simétricamente a su alrededor, distribución cuya representación gráfica es una curva, la cual tiene forma de campana, de ahí que reciba el nombre de curva o campana de Gauss.

Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo. Entre sus más importantes trabajos están los de la aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes.
En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro bifiliar para medir el magnetismo y, con Weber, proyectó y construyó un observatorio no magnético.
Tanto Gauss como Riemann, que fue discípulo suyo, pensaban en una teoría electromagnética que sería muy semejante a la ley universal de la gravitación, de Newton. Empero, la teoría del electromagnetismo fue ideada más tarde, en 1873, por Maxwell, aunque Gauss ya poseía los cimientos matemáticos para la teoría. En 1840, las investigaciones de Gauss sobre la óptica tuvieron especial importancia debido a sus deducciones por lo que toca a los sistemas de lentes.
A la edad de setenta y siete años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ciencias físicas y naturales.

3.7.- SIMÉON DENIS POISSON


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Siméon Denis Poisson nació el 21 de Junio 1781 en Pithiviers, Francia y falleció el 25 abril 1840 en Sceaux (cercano a Paris), Francia.
El trabajo más importante de Poisson fue una serie de escritos de las Integrales Definidas y sus avances en las series de Fourier. Escribió una memoria de diferencias finitas cuando tenía sólo 18 años, esto atrajo la atención de Legendre.
Poisson enseñaba en la escuela politécnica desde el año 1802 hasta 1808 cuando llegó a ser un astrónomo de Bureau des Longitudes. En 1809 fue nominado como profesor de matemáticas puras en la nuevamente abierta facultad de ciencias.
Su trabajo más importante fue una serie de escritos de integrales definidas y sus avances en las series de Fourier.
En Recherchés sur la probabilité des jugements…., fue un trabajo importante en probabilidad publicado en el año 1837. La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces.

Su nombre es asociado a un área extensa de ideas, por ejemplo: Integral de Poisson, Teoría de ecuaciones de potencia de Poisson, Avances de Poisson en ecuaciones diferenciales, La razón de la probabilidad de Poisson y La constante en electricidad de Poisson.
Se ocupó de la teoría de la probabilidad y el análisis complejo. Aplicó las matemáticas al electromagnetismo. La ley de Poisson relaciona las presiones y los volúmenes en la compresión adiabática.
En 1838, desarrolló una fórmula para calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos cuando ésta es muy pequeña, que tiene gran aplicación en la práctica. A partir de esta fórmula obtuvo una distribución que lleva su nombre, y que, como más tarde se demostraría, es un caso especial de la distribución binomial o distribución de Bernoulli.
Poisson estudió también el área de las matemáticas puras, siendo significativo su estudio de lo que en la actualidad se conoce como integración de contornos. Fue el primer matemático que interpretó funciones complejas a lo largo de contornos en el plano complejo. Con sus trabajos en esta materia contribuyó, en gran medida, al desarrollo del análisis complejo.
Poisson, basándose en la teoría molecular, demostró que dentro de la zona elástica de cada material, la relación entre el acortamiento lateral unitario y el alargamiento axial unitario es constante. Esta constante, que se suele designar con la letra griega m, recibe el nombre de coeficiente de Poisson y ha sido comprobado experimentalmente.
En 1824, Poisson publica una memoria en la que describe la teoría de “los dos fluidos” de la electricidad con objeto de dar una explicación al magnetismo, formulando el potencial magnético en cualquier punto como la suma de las integrales del volumen y la superficie de contribuciones magnéticas. Poisson muere en 1840, siendo miembro de la Academia de Ciencias de París.

3.8.- BERNARD BOLZANO



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Bernard Bolzano, matemático, filósofo y teólogo checo. Nació en Praga el 5 de octubre de 1781. Ingresó a la facultad de filosofía en la Universidad de Praga en el 1796, estudió filosofía y matemática y se hizo sacerdote en 1805; ese año fue designado profesor de filosofía de la religión en la Universidad de Praga. Es de destacar que su “aritmetización del cálculo” coincide casi exactamente con la del prolífico Cauchy, a pesar de haber sido obtenida de forma independiente.
Bernard Bolzano, liberó al cálculo del concepto infinitesimal. También dio ejemplos de la correspondencia de las funciones. Bolzano además trabajó en metafísica oponiéndose a Kant.
Bolzano, se adelantó a los analistas rigurosos del siglo XIX del concepto de función continua y en la demostración de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de análisis en Praga.
Falleció el 18 de Diciembre 1848 en Praga dejándonos al final de su vida logros importantes como el teorema que lleva su nombre o el método de la bisección.
Teorema de Bolzano y método de la bisección para localizar las raíces de una función

- Enunciado del teorema:



Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c ? (a, b) para el que se cumple: f(c) = 0. Es decir: si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], y los valores en los extremos del intervalo tienen signos distintos, entonces podemos asegurar la existencia de al menos una raíz de la función en el intervalo abierto (a, b).

- Método de la Bisección:



El teorema de Bolzano tiene una interesante aplicación en la localización de las raíces o ceros de una función continua. Consiste en lo siguiente: buscamos por tanteo dos valores “a” y “b” para los que la función tome signos opuestos. Si conseguimos encontrar dos valores que cumplan la condición anterior, por ejemplo f(a) < 0 y f(b) > 0, y, además, la función es continua en I = [a, b], queda garantizada por el teorema de Bolzano la existencia en el intervalo (a, b) de al menos una raíz. Si ahora tomamos el punto medio del intervalo (x = (a + b)/2) la función en ese punto puede tomar el valor 0, en cuyo caso ya tendríamos localizada una raíz, o bien en (a + b)/2 toma un valor positivo o negativo. Si f((a + b)/2) < 0, nos fijaríamos ahora en el intervalo I1 =[(a + b)/2, b] en el que la función es continua y en cuyos extremos toma valores de signos opuestos. El teorema de Bolzano garantiza así la existencia de al menos una raíz en ese intervalo I1 de longitud la mitad de la longitud del intervalo inicial. (Si f((a + b)/2)>0 I1=[a, (a +b)/2]. Se repite el mismo proceso con el intervalo I1, con lo que vamos obteniendo intervalos cada vez más pequeños, dentro de los cuales sabemos que existe una raíz. Podemos así hallar el valor de esa raíz con la aproximación deseada.

3.9.- AUGUSTIN LOUIS CAUCHY


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Matemático francés, considerado uno de los impulsores del análisis en el siglo XIX. Nació en París en 1789 y estudió en la Escuela Politécnica de esta ciudad. Fue profesor simultáneamente en el Colegio de Francia, en la Escuela Politécnica y en la Universidad de París. En 1848 fue nombrado profesor de astronomía matemática de esa universidad.
Cauchy verificó la existencia de funciones elípticas recurrentes, dio el primer impulso a la teoría general de funciones y sentó las bases para el tratamiento moderno de la convergencia de series infinitas. También perfeccionó el método de integración de las ecuaciones diferenciales de primer grado.

Agustín Louis Cauchy pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos.
El ayudó ocupando diversos puestos en la Facultad de Ciencia de París, El Colegio de Francia y La Escuela Politécnica. En 1814 el publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas.
Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.
Como Cauchy se precisan los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangentes.

Cauchy vuelve a tomar el concepto tradicional de integral, como suma y no como operación inversa. También introdujo el rigor en el tratamiento de las series fijando criterios de convergencia y eliminando, algo a pesar suyo, las series divergentes, pues dice “Me he visto obligado a admitir diversas proposiciones que parecerán algo duras; por ejemplo, que una serie divergente carece de suma”.
Cauchy retornó a París en 1838 y retomó su cargo en la academia pero no su posición de profesor por haber rechazado tomar el juramento de lealtad. Cuando Louis Philippe fue destronado en 1848 Cauchy retomó su cátedra en Sorbonne. El ayudo en los postgrados hasta la hora de su muerte.





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