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Función exponencial - Monografía



 
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Cálculo. Teoría de Funciones. Análisis matemático. Ecuaciones diferenciales. Potencial. Polinomial. Representación gráfica



Gráfico Exponencial,  Polinominal y Cuadrático



Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1

F(x)= 2^x

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Gráfico Exponencial,  Polinominal y Cuadrático



Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1

F(x)= 2^x

-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
-    Asintótica al eje X
-    Cóncava hacia arriba
-    El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)
Comparación entre F(x)= 2^x y F(x)= -2^x

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Características de F(x)= -2^x

-    Dom: R
-    Rec: R-
-    F(x):decreciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
-    Asintótica al eje X
-    Cóncava hacia abajo
-    El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,-1)

F(x) = 3^ x

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-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
-    Asintótica al eje X
-    Cóncava hacia arriba
-    El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)

Comparacion entre F(x)= 2^x y F(x) = 3^x
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Grafico de la función exponencial y= a^x, con 0 < a < 1

F(x)=( ½) ^x
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-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
-    Asintótica al eje X
-    Cóncava hacia arriba
-    El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)

F(x) = (?) ^x

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-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda)
-    Asintótica al eje X
-    Cóncava hacia arriba
-    El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)

Comparación entre F(x)=( ½) ^x y F(x) = (?) ^x
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Grafico de la función F(x)= a^1, con a= 1
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-    Dom : R
-    Rec : [ 1 ]
-    F(x) constante
-    Recta
-    Asintótica al eje X
-    El punto de intersección con el eje Y es el punto (0,1)

Conclusiones:


Si a > 1:

-    La curva asociada a esta función exponencial intersecta al eje y en el punto (0,1)
-    La función es creciente para todo valor de X
-    Mientras a es mayor, mas se aproxima al eje Y
-    La curva es asintótica al eje X (se acerca indefinidamente a el sin llegar a tocarlo)

Si a < 0 :

-    La curva asociada a esta función intersecta al eje Y en el punto (0, -1)
-    La función es decreciente para todo valor de X
-    Al igual que en el caso anterior la curva es asíntota al eje X
-    La curva se presenta como un reflejo de su inverso aditivo

Si 0 < a < 1:

-    La curva asociada a esta función exponencial intersecta al eje Y en el punto (0,1)
-    La función es decreciente para todo valor real de X
-    Mientras "a" se acerca mas a 1, la curva se hace mas recta alejándose del eje Y.
-    La curva es asintótica al eje X

Si a = 1

-    Se observa que para todo valor real de x se tiene y= 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje X, es decir, se trata de una función constante.


Casos particulares de Funciones Exponenciales



Entre las funciones exponenciales merecen especial atención aquellas que tienen como base los números e y 10

F(x)= e ^ x
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-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
-    Asintótica al eje X
-    Cóncava hacia arriba
-    El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)

F(x)= 10^ x
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-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha)
-    Asintótica al eje X
-    Cóncava hacia arriba
-    El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1)

Conclusiones:



Ambas curvas presentan las mismas características de una función exponencial con a > 1.

Gráficos de las Funciones Potenciales



F(x)= x ²

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-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x) creciente en su recorrido (parábola)
-    Cóncava hacia arriba
-    Intersecta el eje X e Y en el punto (0,0)
-    La funcion y = x ², es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

F(x) = x ³
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-    Dom: R
-    Rec: R
-    F(x) creciente para toda medida angular a su dominio
-    Intersecta el eje X e Y en el punto (0,0)
-    La función y = x ³, impar, pues (-x) = - y, por lo tanto es simétrica respecto del origen

F(x)= x^4

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-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x) creciente en su recorrido en los intervalos [ -½, ?[, [ ½, ?[
-    Intersecta el eje X e Y en los puntos (0,0), (-½, 0), (½, 0)
-    La funcion y = x ², es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

F(x) = x ² + 1
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-    Dom: R
-    Rec: R+ salvo el intervalo entre el 0 y el 1
-    F(x) creciente en su recorrido (parábola)
-    Cóncava hacia arriba
-    Intersecta el eje Y en el punto (0,1)
-    La funcion y = x ² + 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

F(x)=  x ² - 1
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-    Dom: R
-    Rec: R+ [ 0,-1]
-    F(x) creciente en su recorrido (parábola)
-    Cóncava hacia arriba
-    Intersecta el eje X en los puntos ( -1, 0) y (1,0) y al eje Y en el punto (0,-1)
-    La funcion y = x ² - 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

F(x) = x ² + 2x+1
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-    Dom: R
-    Rec: R+
-    F(x) creciente en su recorrido (parábola)
-    Cóncava hacia arriba
-    Intersecta el eje X en el punto ( -1, 0) y al eje Y en el punto (0,1)
-    La funcion y = x ² - 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

Conclusiones



-    Para toda función cuadrática el dominio serán R
-    El recorrido puede variar dependiendo si el existe una suma o resta, de esta manera :
- Si sumamos 1 la curva se desplaza 1 lugar de hacia arriba de su posición original volviéndose asintótica
- Si restamos 1 se desplaza 1 lugar hacia debajo de su posición original intersectando al eje X en dos puntos
-    En el caso de encontrarnos con una ecuación cuadrática la curva se corre un lugar hacia la izquierda de su posición original (F(x) = x ² + 2x+1)

 





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