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Función logarítmica - Monografía



 
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Logaritmos. Base. Estudio: simetría, continuidad, crecimiento, dominio, asíntotas



Funciones logarítmicas



Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.
Entonces se dan dos casos:


Base mayor que la unidad (a > 1)


101271.gif

Comparación:

  Las 3 funciones (log 2 x, log 5 x, log 7 x) se unen en el punto (1,0) porque el log a 1 = 0, y el log a a = 1, con lo que coincide que la gráfica pasa por (1,0) y (a,1).
En la función logarítmica (cuando a > 1) cuanto mayor es la base del logaritmo, más cerca del eje X está.

Las funciones de la forma y = log a x  cuando la base es mayor que la unidad (a > 1) tienen las siguientes características:

(tomando como ejemplo la función f (x) = log 5 x)

-Dominio:

el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo

101272.gif

porque al introducir la antiimagen de un número racional la imagen que da, es un número negativo,  lo que no quiere decir que existan imágenes para números negativos en esta función, ya que es imposible. 101273.gif

-Recorrido:

el recorrido de la función es toda la recta real

101274.gif

-Continuas y crecientes:

la función es creciente en todo su dominio porque…

101275.gif
101276.gif y continua porque todos sus puntos tienen imagen, tienen límite, y el límite de un punto coincide con la imagen del punto.

-Simetría:

la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas

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-Asintotas:

Partiendo del Dominio de la función (   Dom(f) = R+     ),

101278.gif

no se ven números concretos candidatos a asíntota por lo que viendo la gráfica deducimos que

x = 0, es una asíntota vertical y al probarlo comprobamos que es cierto.
lim log 5 x = -
x   0 +
lim log 5 x = +
x   0 -

No tiene asíntotas horizontales porque el limite cuando la función tiende a infinito no es un número concreto, (a simple vista se aprecia) al igual que no tiene asíntotas oblicuas.

Base positiva y menor que la unidad (0 < a < 1)



 101279.gif


En la función logarítmica (cuando 0 < a < 1) cuanto mayor es el denominador de la base de logaritmo más se cerca del eje X está.

Las funciones de la forma y = log a x  cuando la base es menor que la unidad (0 < a < 1) tienen las siguientes características:

(tomando como ejemplo la función f (x) = log 1/5 x)

-Dominio:

el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo

101280.gif

101281.gif

-Continua y decreciente:

la función es decreciente en todo su dominio porque…

101282.gif

-Simetría:

la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas.

101283.gif

-Asíntotas:

Partiendo del Dominio de la función (   Dom(f) = R+     ),

101284.gif

no se ven números concretos candidatos a asíntota por lo que viendo la gráfica deducimos que

x = 0, es una asíntota vertical y al probarlo comprobamos que es cierto.
lim log 5 x = +
x   0 +
lim log 5 x = -
x —>  0 -

No tiene asíntotas horizontales porque el limite cuando la función tiende a infinito no es un número concreto, (a simple vista se aprecia) al igual que no tiene asíntotas oblicuas.

Autor:

Daniel Sanchez





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