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Funciones cuadráticas - Monografía



 
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Función cuadrática, ecuación segundo grado. Simetría. Raíces. Vértices. Parábola



DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.



Es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir,
ax2+ bx + c = 0

con a  0. Se resuelve mediante la fórmula:

1012851.gif

que da lugar a dos soluciones, una o ninguna según que el discriminante  1012861.gif sea, respectivamente, mayor, igual o menor que cero.

Si b = 0 o c = 0 la ecuación cuadrática se llama incompleta y se puede resolver de forma más sencilla que aplicando la fórmula anterior.

1012871.gif
Graficación elemental de funciones de segundo grado
Si
1012881.gif

Entonces
a= -1
b= -2
c= 3
Conocemos la expresión

1012891.gif

que permite hallar las raíces en una función de este tipo.
(¿ Cómo se puede expresar esto de otra manera ? )
1012901.gif

Entonces resulta:

101291.gif

A continuación se halla el valor de x que determina el eje de simetría de la función:

101292.gif

y el yv , reemplazando en la función:

101293.gif

Luego observando la función tomamos el valor del término independiente:
Como la función es simétrica, sabemos que a la misma distancia del eje de simetría (en este caso a la derecha) se halla el otro valor de x con y= 3.
(determine este valor de x mediante una expresión matemática, es muy sencillo)
En resumen hallamos los siguientes puntos notables que nos permiten graficar:
I ( 1, 0 ) Raíz
II ( -3, 0 ) Raíz
III ( -1, 4 ) Vértice
IV ( 0, 3 ) Término independiente
V ( -2, 3 ) Simétrico del TI.
Ahora si graficamos:
101294.gif

PROBLEMAS CON FUNCIONES CUADRÁTICAS.



Problema 1.- Las edades de Gaby y Cris suman 41 años el producto de ambas edades es de 414 años. Encuentra las edades de ambas.
Variables. Gaby: X
Cris  Y
Ecuación 1: x+y=41
Ecuación 2: xy=414
Procedimiento (por sustitución)
X+y=41    Despejamos ecuación 1
X=41-y
Xy=414    Sustituimos en ecuación 2
(41-y)y=414
41y-y2-414=0 Ordenamos términos
y2-41y-414=0 Resolver por fòrmula general.
101295.gif

Sustituimos para encontrar valores de X:
X+y=41
X+23=41    x+23-23=41-23    x=41-23
X+y=41    X+18-18041-18    x=41-18
X1=18

x2=23

Gaby tiene 18 años y Cris tiene 23 años o la invetsa.

Problema 2:Si la diagonal de un cuadrado mide 23cm encontrar la longitud del lado y el àrea del cuadrado.
Representaciones:     lado del cuadrado: x
Área del cuadrado: x2
Diagonal del cuadrado: 23cm
101296.gif
Ecuación: x2 +x2 =23(al cuadrado)    sumamos términos semejantes.
2×2: 529                    dividios entre dos la ecuaciòn
X2: 264..5                    sacamos raìz a ambos términos.
X= 16.26  (Por lo tanto la magnitud del lado es X=16.26cm y el àrea: x2: 262.5

Autor:

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