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Funciones de varias variables - Monografía



 
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Análisis. Cálculo. Función de dos variables. Líneas o curvas de nivel. Coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional



Definición:



Función de dos variables 



Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cadapareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

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Líneas o curvas de nivel



Si tenemos una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, o sea que están “al mismo nivel” sobre el plano xy.

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Coordenadas cartessianas en el  espacio 



En el  espacio  existen   tres ejes   ,  un  eje vertical y  dos horizontals  , onsiderando al plano  xy  como  horixontal y  z como  vertical . Dichos ejes tienen  secciones positivas y negativas por lo regular unicamente utilizamos las positivamente orienadas , en los cuales al ver hacia abajo el  eje z se observa el plano xy   . Se especifica un  punto en el  espcio  mediante coordenadas (x,y,z) con  respecto a los ejes ; primero  comenzamos en el origen  , avanzamos x unidades en el  eje de las x , paralelamente avanzamos y unidades en el eje y y finalmente z unidades paralelas al eje z , las coordenada pueden  ser positivas , cero o negativas.

Para graficar dichas funciones se deben cumoplir que z=0 ,  si  esta coordenada es cero  debemos entrr en nivel  vertical en el plano  horizontal .

Para encontrar la distancia entre puntos en  un  eje tridimensional es necesario notar que el puno PE es el eje de las x , EF eje y y FG eje z .
Por lo que para hallar la distancia entre puntos obtenemos que :

PG^2=PF^2+FG^2=PE^2+EF^2+FG^2=  (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 .

Lectura 2: Surface and Level Curves I , II  y  Level  Surfaces

En el  docuemnto de internet  se hace mencion   las curves de nivel  que son  estas como  se obtienen y los mas importante su  aplicacion   .

Sabemos que  una superficie que  representa una funcion  de dos variables da una idea de como  se comporta dicha funcion ; pero  sin  embargo  es mas dificil leer valores de una superficie  y mas complicado entender el  comportamiento  global de la funcion  solo observando la superficie  . Dichos  niveles de curva presentan la ventaja de proporcionarnos hasta un a tercera dimension  y lograr esta no es muy  dificl .

Una vez que uno  tiene  una grafica ya sea en  3D o  en un  pplano  se debe de rotar hasta llegas al fin  de esta , es decir al techo  ,  en  donde vista desde arriba  se observaran  unicamente capas  , esto  hace mencion  a que separa las capas mayors de las menores debido  a la ubicacion  en el  palno  y su  elevacion   .

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Un  ejemplo  mas claro [uede ser el  corte de un  terreno  o  bien   la medicion  de temperatruras para mostrar de manera global  una region   com lo  observamos en la ghrafica :

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con  esto  podemos concluir que entre mas cerca esten  las capas hay  un  mayor altura por lo que puede ser una region  de una Montana o  bien  por elk  contrario  si las lineas estan  muy  separadas podemos determinar una lllanura ..

Al trabajar con  funciones  de dos variables cuya funcion  es    z=f(x,y)  y derterminar las cuervas de invel  se haba;a en  base a una altura  , pero estas curves muchas veces estan  determinada por  constantes .

Un ejemplo un poco  comun  es el de un  isoterma el  cual por medio  de las curves de nivel podemos determiar las regions mas calientes y las mas frias por tan  solo obsevar la intensidad de la luz comno  se ve en  el  ejemplo  :

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Esats cuervas a de ams  de su  funcion  en la calorimetria  tambein  son  utliles en el calculo de presion   ya sea por aire  o mar  . Dicho  concepto tambien  es muy utilizado en  al aereonautica para construir aviones  y naves esapaciales como en  un  ejemplo sitado en el texto en  el  cual observamos como  los sientificos de la NASA  pudieron  determinar y  realizar pruebas en una luna de Saurno  gracias a las curves de nivel las cuales hicieron  mas facil de identificar  cuales eran las temperatures a una velocidad MACH24 , ellos  hicieron  esto gracias a los colores de la grafiaca y  por medio de estos pudieron  determinar las diferentes condiciones en  diferentes puntos  :

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En la vida diaria este concepto de las  curves de nivel es muy  utilizado desde la sencillez de determinar  la temperatura de una ciudad por  zona , por region  , etc(por medio de Isotermas ) hasta lo mas complejo  como  una nave especial  , un  ensayo especial  o  una obra hidraulica.

Como Ingenieros debmos de  saber manejar dicho  concepto  por mas burdo y  sencillo que parezca ya que este trae consigo  muchos datos utlies para ser analizados si uno  sabe como  , datos utilez que ayudaran  y facilitaran  a hacer mejor las cosas para hacerlas mejor y mas rapido  .


Bibliografia :



Datos y  graficas tomadas de la pagina de internet  :

Matrmaticas en  movimiento
Calculode varias variables , McCullan , Aditorial Mc Graw Hill , New Jersey , 1992 .
http://www.math.iupui.edu/contour1.html
http://www.math.iupui.edu/contour2.html
http://www.math.iupui.edu/levelsurf.html

Autor:

Arturo Grinberg





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