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Funciones hiperbólicas - Monografía



 
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Álgebra. Trigonometría. Seno. Coseno. Tangente. Matemáticas



 FUNCIONES HIPERBOLICAS



Definiciones e  Identidades



Las combinaciones



Cosh u  = ½  ( e ^u + e ^-u)           ( coseno hiperbólico de u)

Senh u = ½  ( e ^u - e ^-u)              ( seno hiperbólico de u)

se  presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas adelante.

Estas funciones se relacionan entre sí  mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u  pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x, y) sobre la hipérbola unitaria  x² - y² =1.

A propósito suele pronunciarse cosh u como “cosh u”  y senh u como ” senh u”.

Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola:

x² - y² =1

cosh² u - senh² u = 1

¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u) - ¼ (e ^ 2u - 2 + e ^ -2u) = 1

¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u - e ^ -2u + 2 - e ^ -2u) = 1

¼ ( 4) = 1

En realidad, si  hacemos

x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ -u).

y = senh u = ½ ( e ^ u - e ^ -u).

entonces,  cuando u varia de - oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola  x² - y² = 1.

El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica

cosh²  u - senh ² u = 1.

Esta  expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometrica ordinaria cos² u + sen² u = 1.

Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue:

Tangente



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Cotangente



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Secante


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Cosecante



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Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta

1 - tanh² u = sech² u

Si dividimos por senh² u, obtenemos

coth² u - 1 = csch² u

Se deduce que

cosh u + senh u = e ^ u

cosh u - senh u = e ^ -u

Es,  pues, evidente que cualquier combinación de las exponenciales e ^ u y e ^ -u puede sustituirse por una combinación de senh u y cosh u, y viceversa.

Como e ^ -u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u, e ^ -u es pequeño y cosh u = senh u.

En  x = 0, cosh  x = 1 y senh x = 0, de modo que todas las funciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos valores que las funciones trigonometricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una funcion par,  esto es,

cosh ( -x) = cosh x,

y el seno hiperbólico es una función impar, es decir,

senh (-x) = - senh x ;

de manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las funciones hiperbólicas se comportan también en esto como las funciones trigonométricas ordinarias ( o circulares).

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS



SENO HIPERBÓLICO:



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COSENO HIPERBÓLICO


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TANGENTE HIPERBÓLICA



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COTANGENTE HIPERBÓLICA



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SECANTE HIPERBÓLICA



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COSECANTE HIPERBÓLICA



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DOMINIOS Y RANGOS



SENO HIPERBÓLICO



DOMINIO :   Reales

RANGO  :  Reales

COSENO HIPERBÓLICO



DOMINIO  :  Reales

RANGO  :  ( 1,  oo)

TANGENTE HIPERBÓLICA



DOMINIO :   Reales

RANGO :  ( -1, 1)

COTANGENTE HIPERBÓLICA



DOMINIO :  ( -oo, 0)  ( 0, oo)

RANGO :   ( -oo, -1 )  ( 1, oo)

SECANTE HIPERBÓLICA



DOMINIO :  Reales

RANGO :   ( 0, 1)

COSECANTE HIPERBÓLICA



DOMINIO :   ( -oo, 0)  ( 0, oo)

RANGO :  ( -oo, 0)  ( 0, oo)

IDENTIDADES



Mediante las definiciones y algo de álgebra se obtienen las identidades

senh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y

cosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y

Las cuales, haciendo y = x,

Senh 2x = 2 senh x cosh x

Cosh 2x = cosh² x + senh² x

La segunda de estas expresiones permite obtener formulas del ” ángulo medio” sin mas que combinar la identidad

1 = cosh² x - senh² x.

Sumando resulta

cosh 2x + 1 = 2 cosh² x

mientras que si  restamos se tiene

cosh 2x - 1 = 2 senh² x

Sustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulas

Cosh u /2 = cosh u + 1 / 2

Senh u /2 = ± cosh u -1 /2

La formula no tiene ( ±) en el segundo miembro porque el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de senh ( u /2) es ( +) cuando u > 0, y ( -) cuando u < 0. Como el cosh u nuca es menor que 1, las formulas valen para todos los valores de u.

FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS



Usamos las inversas de las seis funciones funciones hiperbólicas en la integración. Dado que  d ( senh x) / dx = cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es

y = senh ^ -1 x

Para cada valor de x en el intervalo - oo < x < oo, el valor de y = senh ^ -1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x.

La función y = cosh x no es inyectiva, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación es

y = cosh ^ x

para cada valor de x > 1, y = cosh ^ -1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x.

Igual que y = cosh, la función y = sech x = 1 / cosh x no es inyectiva, paro tiene inversa si se restringe a valores  no negativos de x, y su notación es
y = sech ^ -1 x.

Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = sech ^ -1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación es

y = tan^ -1 x,       y = ctgh^ -1 x,      y = csch ^ -1 x.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS



SENO HIPERBÓLICO INVERSO



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COSENO HIPERBÓLICO INVERSO



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TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA



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SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA



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COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA



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COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA



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DOMINIOS Y RANGOS



SENO HIPERBÓLICO INVERSO



DOMINIO :  Reales

RANGO :  Reales


COSENO HIPERBÓLICO INVERSO



DOMINIO :  ( 1, oo)

RANGO  :  Reales

TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA



DOMINIO :  ( -1, 1)

RANGO : Reales

COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA



DOMINIO :  ( -oo, -1)  ( 1, oo)

RANGO : ( -oo, 0)  ( 0, oo)

SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA



DOMINIO : ( O, 1)

RANGO :  Reales

COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA



DOMINIO :  ( -oo, 0)  ( 0, oo)

RANGO :  ( -oo, 0)  ( 0, oo)

CATENARIAS



La curva catenaria:



Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.
La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.

Formulación discreta:



Sea una cadena de esferas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N esferas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.
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Cada esfera estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.
La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

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Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.

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Formulación continua:



Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea   la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

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Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

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La ecuación de la catenaria es, finalmente

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La longitud de la catenaria es

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Máquina de Cadenas Colgantes, Catenaria y Parábola.



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1) Breve descripción del Modelo:  



Se trata de tablas verticales sobre las que se hacen pender cadenas de densidad de masa proporcional a la longitud de arco (cadena común) y otras de densidad de masa proporcional a la coordenada horizontal (cadena que se ensancha y adelgaza). Toda cadena común colgante entre puntos cualesquiera de la tabla, describe una curva catenaria. La cadena colgante de densidad de masa constante horizontal describe una parábola.

2)Conceptos Matemáticos en juego:


Catenaria longitud de arco parábola densidad lineal de masa

3)Guía de Uso Específica del Modelo:



Qué y Cómo hay que mover o realizar. En las parábolas sólo se observa. En las catenarias se prueban las coincidencias con las funciones trazadas. Qué hay que observar. Las funciones trazadas y sus coincidencias. Qué precauciones se deben tener. No tirar de las cadenas de las funciones parábolas.

4)Breves referencias teórico-técnicas:



En el caso de la catenaria por longitud de arco de cadena hay la misma cantidad de masa, pues la cadena es uniforme. Cada tramo horizontal en la parábola tiene la misma masa. Por lo que la cadena debe ensancharse o angostarse, ya que hay más o menos longitud de arco (de cadena) por tramo horizontal.

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CATENARIAS PASANTES POR 0,0 Y 4,4



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PARÁBOLAS PASANTES POR 0,0 Y 4,4



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Autor:

David





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